2015-05-13
2175
1.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного билета.
1.2. В каждой из двух урн находятся 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили наудачу один шар, а затем из второй урны вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.
1.3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали вцель.
1.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.
1.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
|
|
|
1.6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.
1.7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этих партии, ровно три окажутся дефектными.
1.8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
1.9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготовляются детали одного наименования. На первом станке изготовляют 10%, на втором – 30%, на третьем – 60% всех деталей. Вероятность каждой детали быть дефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором станке, и 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.
1.10. В шахматном турнире участвуют 20 человек, которые по жребию распределяются по 10 человек. Найти вероятность того, что: а) двое наиболее сильных игроков будут играть в разных группах; б) четверо наиболее сильных игроков попадут по 2 в две разные группы.
1.11. У сборщика 12 деталей мало отличающихся друг от друга. Из них 5 одного вида, 4 – второго, 3 – третьего. Какова вероятность, что среди 6-ти одновременно взятых деталей 3 окажутся одного вида, 2 – второго, 1 – третьего?
|
|
|
1.12. На 10 карточках написаны буквы: А, А, А, М, М, Т, Т, Е, И, К. После перестановки вынимают наугад одну карточку за другой и расставляют в том порядке, в каком они были выдвинуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово «математика».
1.13. На 8 карточках написаны буквы И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л. После перестановки вынимают наугад по карточке. Каждая из букв на вынутой карточке записывается в том порядке, в каком она вынимается. Найти вероятность того, что будет записано слово «интеграл»: а) в случае если карточки не возвращались; б) в случае, если вынутая карточка возвращалась.
1.14. Вероятность, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превышающая заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых измерения. Найти вероятность, что только в одном из них допущенная ошибка превысит заданную точность.
1.15. Имеется 10 урн, из которых в девяти находятся по 2 черных и по 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров.
1.16. Наудачу взяты два положительных числа Х и У, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность, что произведение ХУ не больше единицы, а частное У/Х не больше двух.
1.17. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в промежутке от 12 до 13 часов.
1.18. Вероятность, что изготовленная деталь отличного качества, равна 0,9. Изготовлено 50 деталей. Чему равно: а) наивероятнейшее число изделий отличного качества; б) вероятность такого числа изделий отличного качества.
1.19. Вероятность, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы.
1.20. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность, что за время Т откажут ровно три элемента.
1.21. Студент идет сдавать экзамен, зная 20 вопросов из 30. Ему предлагают 3 вопроса. Какова вероятность, что он ответит хотя бы на два вопроса?
1.22. Вероятность купить выигрышный лотерейный билет равна 0,02. Какова вероятность, что 100 приобретенных билетов принесут три выигрыша? Какова вероятность, что из тысячи купленных билетов выиграют не меньше 15 и не больше 40?
1.23. Проект в случае благоприятных внешних условий, будет завершен успешно с вероятностью 0,75. Если условия не благоприятны, то вероятность успешного завершения проекта равна 0,3. Благоприятные внешние условия наступают в 70% случаев. Какова вероятность успешного завершения проекта? Если проект провалился, то какова вероятность, что условия для его выполнения были благоприятными.
1.24. Наудачу выбрали два положительных числа из отрезка [0;4]. Какова вероятность, что модуль разности этих двух чисел не больше двух.
2. Случайная величина Х, число успехов в последовательности независимых испытаний, подчиняется биномиальному распределению. Вероятность успеха равна р, число испытаний n. Определите ряд распределения данной случайной величины, постройте распределение вероятностей и функцию распределения. Найдите математическое ожидание и дисперсию, исходя из определения этих числовых характеристик. Сравните найденные значения с теоретическими.
2.1. р=0,4, n=3 2.7. p=0,6, n=3 2.13. p=0,9, n=3 2.19. p=0,8, n=3
2.2. р=0,4, n=4 2.8. p=0,6, n=4 2.14. p=0,1, n=4 2.20. p=0,3, n=4
2.3. р=0,3, n=5 2.9. p=0,7, n=5 2.15. p=0,6, n=5 2.21. p=0,2, n=6
2.4. р=0,2, n=3 2.10. p=0,3, n=3 2.16. p=0,1, n=3 2.22. p=0,3, n=7
2.5. р=0,2, n=4 2.11. p=0,9, n=4 2.17. p=0,8, n=4 2.23. p=0,4, n=4
|
|
|
2.6. р=0,4, n=5 2.12. p=0,8, n=5 2.18. p=0,9, n=5 2.24. p=0,5, n=5
3. Случайная величина Х задана своей функцией распределения F(x). Найдите плотность вероятности, математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины. Определите вероятность попадания в отрезок [a; b].
3.1. 
3.2. 
3.3. 
3.4. 
3.5. 
3.6. 
3.7. 
3.8. 
3.9. 
3.10. 
3.11. 
3.12. 
3.13. 
3.14. 
3.15. 
3.16. 
3.17. 
3.18. 
3.19. 
3.20. 
3.21. 
3.22. 
3.23. 
3.24. 
4. Известны математическое ожидание а и среднее квадратичное отклонение 
нормально распределенной случайной величины Х. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал 
.
4.1. 
4.2. 
4.3. 
4.4. 
4.5. 
4.6. 
4.7. 
4.8. 
4.9. 
4.10. 
4.11. 
4.12. 
4.13. 
4.14. 
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
4.19. 
4.20. 
4.21. 
4.22. 
4.23. 
4.24. 
5. В таблице представлены наблюдения вектора случайных величин (Х, У).
1) Получите оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
2) Определите коэффициент корреляции между Х и У.
3) Найдите линейную регрессию У на Х.
4) По критерию Пирсона с уровнем значимости 0,05 проверьте гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х и биномиальном распределении случайной величины У (число опытов определяется наибольшим значением У).
5) Постройте 95% доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
Примечание: по согласованию с преподавателем общее число наблюдений может быть уменьшено до 30-40. Тогда номер первого наблюдения совпадает с последней цифрой года выполнения работы. Если последняя цифра года 0, то следует начинать с 10-го наблюдения.
| В а р и а н т ы п о с т а т и с т и к е | ||||||||||||||||||||||||
| X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | |
| N | В а р и а н т ы п о с т а т и с т и к е | |||||||||||||||||||||||
| X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | X | Y | |
| -2 | ||||||||||||||||||||||||
Приложение 1
|
|
|
Таблица значений функции Лапласа 
| х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) |
| 0,00 | 0,000 | 0,30 | 0,118 | 0,60 | 0,226 | 0,90 | 0,316 | 1,20 | 0,385 | 1,50 | 0,433 | 1,80 | 0,464 |
| 0,01 | 0,004 | 0,31 | 0,122 | 0,61 | 0,229 | 0,91 | 0,319 | 1,21 | 0,387 | 1,51 | 0,434 | 1,81 | 0,465 |
| 0,02 | 0,008 | 0,32 | 0,126 | 0,62 | 0,232 | 0,92 | 0,321 | 1,22 | 0,389 | 1,52 | 0,436 | 1,82 | 0,466 |
| 0,03 | 0,012 | 0,33 | 0,129 | 0,63 | 0,236 | 0,93 | 0,324 | 1,23 | 0,391 | 1,53 | 0,437 | 1,83 | 0,466 |
| 0,04 | 0,016 | 0,34 | 0,133 | 0,64 | 0,239 | 0,94 | 0,326 | 1,24 | 0,393 | 1,54 | 0,438 | 1,84 | 0,467 |
| 0,05 | 0,020 | 0,35 | 0,137 | 0,65 | 0,242 | 0,95 | 0,329 | 1,25 | 0,394 | 1,55 | 0,439 | 1,85 | 0,468 |
| 0,06 | 0,024 | 0,36 | 0,141 | 0,66 | 0,245 | 0,96 | 0,331 | 1,26 | 0,396 | 1,56 | 0,441 | 1,86 | 0,469 |
| 0,07 | 0,028 | 0,37 | 0,144 | 0,67 | 0,249 | 0,97 | 0,334 | 1,27 | 0,398 | 1,57 | 0,442 | 1,87 | 0,469 |
| 0,08 | 0,032 | 0,38 | 0,148 | 0,68 | 0,252 | 0,98 | 0,336 | 1,28 | 0,400 | 1,58 | 0,443 | 1,88 | 0,470 |
| 0,09 | 0,036 | 0,39 | 0,152 | 0,69 | 0,255 | 0,99 | 0,339 | 1,29 | 0,401 | 1,59 | 0,444 | 1,89 | 0,471 |
| 0,10 | 0,040 | 0,40 | 0,155 | 0,70 | 0,258 | 1,00 | 0,341 | 1,30 | 0,403 | 1,60 | 0,445 | 1,90 | 0,471 |
| 0,11 | 0,044 | 0,41 | 0,159 | 0,71 | 0,261 | 1,01 | 0,344 | 1,31 | 0,405 | 1,61 | 0,446 | 1,91 | 0,472 |
| 0,12 | 0,048 | 0,42 | 0,163 | 0,72 | 0,264 | 1,02 | 0,346 | 1,32 | 0,407 | 1,62 | 0,447 | 1,92 | 0,473 |
| 0,13 | 0,052 | 0,43 | 0,166 | 0,73 | 0,267 | 1,03 | 0,348 | 1,33 | 0,408 | 1,63 | 0,448 | 1,93 | 0,473 |
| 0,14 | 0,056 | 0,44 | 0,170 | 0,74 | 0,270 | 1,04 | 0,351 | 1,34 | 0,410 | 1,64 | 0,449 | 1,94 | 0,474 |
| 0,15 | 0,060 | 0,45 | 0,174 | 0,75 | 0,273 | 1,05 | 0,353 | 1,35 | 0,411 | 1,65 | 0,451 | 1,95 | 0,474 |
| 0,16 | 0,064 | 0,46 | 0,177 | 0,76 | 0,276 | 1,06 | 0,355 | 1,36 | 0,413 | 1,66 | 0,452 | 1,96 | 0,475 |
| 0,17 | 0,067 | 0,47 | 0,181 | 0,77 | 0,279 | 1,07 | 0,358 | 1,37 | 0,415 | 1,67 | 0,453 | 1,97 | 0,476 |
| 0,18 | 0,071 | 0,48 | 0,184 | 0,78 | 0,282 | 1,08 | 0,360 | 1,38 | 0,416 | 1,68 | 0,454 | 1,98 | 0,476 |
| 0,19 | 0,075 | 0,49 | 0,188 | 0,79 | 0,285 | 1,09 | 0,362 | 1,39 | 0,418 | 1,69 | 0,454 | 1,99 | 0,477 |
| 0,20 | 0,079 | 0,50 | 0,191 | 0,80 | 0,288 | 1,10 | 0,364 | 1,40 | 0,419 | 1,70 | 0,455 | 2,00 | 0,477 |
| 0,21 | 0,083 | 0,51 | 0,195 | 0,81 | 0,291 | 1,11 | 0,367 | 1,41 | 0,421 | 1,71 | 0,456 | 2,10 | 0,482 |
| 0,22 | 0,087 | 0,52 | 0,198 | 0,82 | 0,294 | 1,12 | 0,369 | 1,42 | 0,422 | 1,72 | 0,457 | 2,20 | 0,486 |
| 0,23 | 0,091 | 0,53 | 0,202 | 0,83 | 0,297 | 1,13 | 0,371 | 1,43 | 0,424 | 1,73 | 0,458 | 2,30 | 0,489 |
| 0,24 | 0,095 | 0,54 | 0,205 | 0,84 | 0,300 | 1,14 | 0,373 | 1,44 | 0,425 | 1,74 | 0,459 | 2,40 | 0,492 |
| 0,25 | 0,099 | 0,55 | 0,209 | 0,85 | 0,302 | 1,15 | 0,375 | 1,45 | 0,426 | 1,75 | 0,460 | 2,50 | 0,494 |
| 0,26 | 0,103 | 0,56 | 0,212 | 0,86 | 0,305 | 1,16 | 0,377 | 1,46 | 0,428 | 1,76 | 0,461 | 2,60 | 0,495 |
| 0,27 | 0,106 | 0,57 | 0,216 | 0,87 | 0,308 | 1,17 | 0,379 | 1,47 | 0,429 | 1,77 | 0,462 | 2,70 | 0,497 |
| 0,28 | 0,110 | 0,58 | 0,219 | 0,88 | 0,311 | 1,18 | 0,381 | 1,48 | 0,431 | 1,78 | 0,462 | 2,80 | 0,497 |
| 0,29 | 0,114 | 0,59 | 0,222 | 0,89 | 0,313 | 1,19 | 0,383 | 1,49 | 0,432 | 1,79 | 0,463 | 2,90 | 0,498 |
Ф(-х)= - Ф(х); Ф(
