Угол между прямой и плоскостью

Углом φ между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость

р: Ах + By + Cz + D = 0,

где (A, В, С) - нормальный вектор плоскости;

(m, и, р) - направляющий вектор прямой l.

Пусть a - угол между векторами и , тогда а = 90- φ, следовательно: cosa =cos(90 - φ) =sina.

Из определения скалярногопроизведения:

или

или

В частности,

если l||p, то тогда Ат+Вп+Ср=0,

если l p, то , тогда

Пример 26. Найти угол между прямыми l: у- 2х + 5 = 0 и l₂: 2y+x+3=0

Решение

Следовательно, , то есть прямые перпендикулярны.

Пример 27. Найти точку пересечения прямой

с плоскостью р: х+2у+z - 4=0.