Активные методы оценки устойчивости

(МЕТОД D-РАЗБИЕНИЯ)

При проектировании систем необходимо знать области изменения того или иного параметра внутри которых САУ будет устойчива. Такие области называются областями устойчивости и получают их с помощью D-разбиения в плоскости искомого параметра, т.е. того параметра, относительно значений которого оценивается устойчивость системы.

В зависимости от того, сколько параметров системы меняется одновременно, решение ищется на прямой (один), на плоскости (два), на поверхности (три).

Для построения D-разбиения в плоскости одного параметра необходимо в собственном операторе системы в явном виде выделить искомый параметр. Рассмотрим собственный оператор, который записывается в виде:

где - искомый варьируемый параметр. Выделяя в уравнении параметр в явном виде, можно записать:

. (4.8)

(4.9)

Коэффициенты зависят от параметров САУ , следовательно корни характеристического уравнения всецело зависят от параметров системы и определяют ее устойчивость. При фиксированном значении параметров системы корни характеристического полинома (4.9) определенным образом располагаются на комплексной плоскости корней. Причем расположение всех корней в левой полуплоскости соответствует устойчивой системе. Расположение хотя бы одного корня в правой полуплоскости соответствует неустойчивой системе.

Пусть в общем случае корни характеристического уравнения (4.9) произвольно располагаются на комплексной плоскости. Предположим, что изменился режим работы системы, выразившийся в изменении параметра , который входит в один или несколько коэффициентов уравнения (4.9).

При непрерывном изменении корни уравнения будут изменяться также непрерывно, т.е. будут менять свое положение на комплексной плоскости. При этом число корней остается постоянным и равным n. Очевидно, что существует такие области изменения параметра , в пределах которых число корней в левой и правой полуплоскостях не изменяется. Переход из одной области изменения в другую соответствует переходу одного или нескольких корней из одной полуплоскости в другую (например, из левой в правую).

Границы, разделяющие области изменения параметра , при которых сохраняется постоянное число корней в левой и правой полуплоскостях, называются границами D–разбиения по параметру .

Значениям , лежащим на границе D–разбиения, соответствует один или несколько чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Из (4.8) при находим:

Изменяя значения от , построим в плоскости (или , ) кривую, отображающую мнимую ось плоскости корней характеристического уравнения в плоскости . Полученная кривая является кривой D–разбиения. Кривая D–разбиения для отрицательных и положительных частот симметрична относительно действительной оси, поэтому можно строить лишь ее участок, соответствующий изменению частот , и дополнить кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. На рис. 4.20 построены плоскость корней характеристического уравнения (рис. 4.20,а) и кривая D–разбиения (рис. 4.20,б).

Построение кривой D–разбиения еще не решает вопроса о выделении области устойчивости. Последняя должна представлять собой совокупность точек плоскости, в которых все корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные вещественные части. В то же время кривая D–разбиения представляет собой только совокупность точек, в которых характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, хотя бы один чисто мнимый корень . Для того, чтобы решить вопрос о выделении области устойчивости, необходимо по определенным правилам заштриховать кривую D–разбиения.

При перемещении в плоскости корней характеристического уравнения вдоль мнимой оси от до (рис. 4.20,а), область, в которой корни имеют отрицательные вещественные части, будет находиться все время слева. Заштрихуем мнимую ось плоскости корней характеристического уравнения слева. Имея это в виду, будем теперь перемещаться вдоль кривой D-разбиения от точки к точке, соответствующей . Выполним штриховку этой кривой тоже слева (рис. 4.20,б). Таким образом, получим четыре зоны I, II, III, IV.

Допустим, что каким-либо способом удалось установить, что в зоне III имеется k отрицательных корней слева от мнимой оси. Если при переходе в другую зону кривая D-разбиения пересекаются с незаштрихованной стороной на заштрихованную, то этой зоне соответствует полином с

корнем в левой полуплоскости корней характеристического уравнения (рис. 4.20,б). При переходе через кривую с заштрихованной стороны на незаштрихованную число отрицательных корней уменьшается на единицу. Если штриховка двойная (что соответствует точке пересечения кривых D-разбиения - точке А на рис. 4.20,б), то число корней увеличится на 2, т. е. в этой зоне имеем

отрицательных корня.

Практически представляет интерес рассмотрение только действительных значений параметра . Поэтому, построив кривые D-разбиения и определив число корней в каждой зоне, необходимо найти тот отрезок действительной оси на плоскости , который принадлежит области устойчивости. Из предлагаемой области устойчивости выбирается значение параметра (как правило, на действительной оси, т. к. - действительное число - жёсткость, масса, коэффициент трения и т. п.), которое подставляется в характеристическое уравнение. Затем, воспользовавшись одним из критериев устойчивости, определяется устойчивость САУ при выбранном значении . Если система будет устойчива с этим значением , то она будет устойчива во всей области, из которой выбрано значение .

Пример.

Уравнение 1-го порядка

- варьируемый параметр. Приравниваем собственный оператор к нулю:

Из последнего уравнения выражаем в явном виде.

, .

Получаем выражение для построения кривой D-разбиения.

(рис. 4.21).

I- область устойчивости.

Пример.

Система 2-го порядка

Приравниваемый собственный оператор к нулю:

Из последнего уравнения выражаем в явном виде:

, .

Получаем выражение для построения кривой D-разбиения (рис. 4.22):

Пример.

Система 3-го порядка:

Приравняем собственный оператор к нулю:

Из последнего уравнения выражаем в явном виде:

;

На рис. 4.23 изображена кривая D-разбиения.

Область I обладает наибольшим числом корней с отрицательной вещественной частью. Поэтому выбираем из этой области и проверяем на устойчивость с использованием, например, критерия Гурвица.