Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

АКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ




(МЕТОД D-РАЗБИЕНИЯ)

При проектировании систем необходимо знать области изменения того или иного параметра внутри которых САУ будет устойчива. Такие области называются областями устойчивости и получают их с помощью D-разбиения в плоскости искомого параметра, т.е. того параметра, относительно значений которого оценивается устойчивость системы.

В зависимости от того, сколько параметров системы меняется одновременно, решение ищется на прямой (один), на плоскости (два), на поверхности (три).

Для построения D-разбиения в плоскости одного параметра необходимо в собственном операторе системы в явном виде выделить искомый параметр. Рассмотрим собственный оператор, который записывается в виде:

,

где - искомый варьируемый параметр. Выделяя в уравнении параметр в явном виде, можно записать:

. (4.8)

(4.9)

Коэффициенты зависят от параметров САУ , следовательно корни характеристического уравнения всецело зависят от параметров системы и определяют ее устойчивость. При фиксированном значении параметров системы корни характеристического полинома (4.9) определенным образом располагаются на комплексной плоскости корней. Причем расположение всех корней в левой полуплоскости соответствует устойчивой системе. Расположение хотя бы одного корня в правой полуплоскости соответствует неустойчивой системе.

Пусть в общем случае корни характеристического уравнения (4.9) произвольно располагаются на комплексной плоскости. Предположим, что изменился режим работы системы, выразившийся в изменении параметра , который входит в один или несколько коэффициентов уравнения (4.9).

При непрерывном изменении корни уравнения будут изменяться также непрерывно, т.е. будут менять свое положение на комплексной плоскости. При этом число корней остается постоянным и равным n. Очевидно, что существует такие области изменения параметра , в пределах которых число корней в левой и правой полуплоскостях не изменяется. Переход из одной области изменения в другую соответствует переходу одного или нескольких корней из одной полуплоскости в другую (например, из левой в правую).

Границы, разделяющие области изменения параметра , при которых сохраняется постоянное число корней в левой и правой полуплоскостях, называются границами D–разбиения по параметру .

Значениям , лежащим на границе D–разбиения, соответствует один или несколько чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Из (4.8) при находим:

.

Изменяя значения от , построим в плоскости (или , ) кривую, отображающую мнимую ось плоскости корней характеристического уравнения в плоскости . Полученная кривая является кривой D–разбиения. Кривая D–разбиения для отрицательных и положительных частот симметрична относительно действительной оси, поэтому можно строить лишь ее участок, соответствующий изменению частот , и дополнить кривую зеркальным отображением относительно действительной оси. На рис. 4.20 построены плоскость корней характеристического уравнения (рис. 4.20,а) и кривая D–разбиения (рис. 4.20,б).




Построение кривой D–разбиения еще не решает вопроса о выделении области устойчивости. Последняя должна представлять собой совокупность точек плоскости, в которых все корни характеристического уравнения замкнутой системы имеют отрицательные вещественные части. В то же время кривая D–разбиения представляет собой только совокупность точек, в которых характеристическое уравнение имеет, по крайней мере, хотя бы один чисто мнимый корень . Для того, чтобы решить вопрос о выделении области устойчивости, необходимо по определенным правилам заштриховать кривую D–разбиения.

При перемещении в плоскости корней характеристического уравнения вдоль мнимой оси от до (рис. 4.20,а), область, в которой корни имеют отрицательные вещественные части, будет находиться все время слева. Заштрихуем мнимую ось плоскости корней характеристического уравнения слева. Имея это в виду, будем теперь перемещаться вдоль кривой D-разбиения от точки к точке, соответствующей . Выполним штриховку этой кривой тоже слева (рис. 4.20,б). Таким образом, получим четыре зоны I, II, III, IV.

 
 

Допустим, что каким-либо способом удалось установить, что в зоне III имеется k отрицательных корней слева от мнимой оси. Если при переходе в другую зону кривая D-разбиения пересекаются с незаштрихованной стороной на заштрихованную, то этой зоне соответствует полином с корнем в левой полуплоскости корней характеристического уравнения (рис. 4.20,б). При переходе через кривую с заштрихованной стороны на незаштрихованную число отрицательных корней уменьшается на единицу. Если штриховка двойная (что соответствует точке пересечения кривых D-разбиения - точке А на рис. 4.20,б), то число корней увеличится на 2, т. е. в этой зоне имеем отрицательных корня.



Практически представляет интерес рассмотрение только действительных значений параметра . Поэтому, построив кривые D-разбиения и определив число корней в каждой зоне, необходимо найти тот отрезок действительной оси на плоскости , который принадлежит области устойчивости. Из предлагаемой области устойчивости выбирается значение параметра (как правило, на действительной оси, т. к. - действительное число - жёсткость, масса, коэффициент трения и т. п.), которое подставляется в характеристическое уравнение. Затем, воспользовавшись одним из критериев устойчивости, определяется устойчивость САУ при выбранном значении . Если система будет устойчива с этим значением , то она будет устойчива во всей области, из которой выбрано значение .

Пример.

Уравнение 1-го порядка

,

- варьируемый параметр. Приравниваем собственный оператор к нулю:

.

Из последнего уравнения выражаем в явном виде.

, .

Получаем выражение для построения кривой D-разбиения.

(рис. 4.21).

I- область устойчивости.

Пример.

Система 2-го порядка

Приравниваемый собственный оператор к нулю:

.

Из последнего уравнения выражаем в явном виде:

, .

Получаем выражение для построения кривой D-разбиения (рис. 4.22):

.

Пример.

Система 3-го порядка:

.

Приравняем собственный оператор к нулю:

.

Из последнего уравнения выражаем в явном виде:

;

На рис. 4.23 изображена кривая D-разбиения.

Область I обладает наибольшим числом корней с отрицательной вещественной частью. Поэтому выбираем из этой области и проверяем на устойчивость с использованием, например, критерия Гурвица.

Характеристическое уравнение в этом случае запишется в виде:

.

Матрица Гурвица для данного уравнения:

.

;

;

.

Итак система устойчива при Следовательно, она будет устойчива во всей области I изменения параметра





Дата добавления: 2015-05-13; просмотров: 632; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10712 - | 8044 - или читать все...

Читайте также:

 

34.204.200.74 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.005 сек.