Распределение Пуассона

Теперь перейдем к более детальному описанию статистического распределения событий. Постараемся ответить на следующий вопрос. В результате нескольких серий идентичных измерений получено среднее число регистрируемых частиц . Какова при этом вероятность регистрации в отдельном измерении числа регистрируемых частиц равного n? Вероятность P(n) наблюдения значения n при средней величине дается распределением Пуассона:

. (4.6)

Распределение Пуассона - это распределение случайной величины n, принимающей целые неотрицательные значения. Оно определяет вероятность наблюдения величины n в конкретном измерении, если события происходят независимо и характеризуются средней величиной .

Одним из классических примеров распределения Пуассона является распределение числа распадов радиоактивного источника постоянной интенсивности. Распределение Пуассона в этом случае описывает вероятность наблюдения различные значения числа отсчётов n вокруг среднего значения интенсивности .

Выведем формулу Пуассона на примере распада радиоактивного источника состоящего из радиоактивных ядер одного изотопа. Постоянная распада - . Обозначим вероятность того, что ядро, достоверно существовавшее в момент t = 0, еще существует в момент t. Тогда величина будет вероятностью распада ядра за период между t и t+dt. Очевидно, что

, (4.7)

поскольку вероятность распада за промежуток dt равна произведению вероятности распада ядра, достоверно существующего в момент t, на вероятность того, что ядро в момент t существует. Интегрируя (4.7) с учетом того, что = 1 при t = 0, получим

. (4.8)

Соотношение (4.8) содержит полное описание статистических свойств процесса радиоактивного распада. Согласно (4.8) для одного ядра вероятность не распасться за время t равна

а вероятность распасться за время t равна

Для двух ядер, воспользовавшись независимостью их распадов, найдем, что вероятности наблюдать за время t ноль, один и два распада равны соответственно

Например, для получения вероятности надо сначала умножить вероятность того, что первое ядро не распалось за время t, на вероятность того, что второе ядро при этом распадается, а затем полученный результат удвоить, так как возможна ситуация, в которой ядра могут поменяться ролями.

Аналогично для N ядер получим

…,

При практических измерениях, как правило, с высокой точностью справедливы приближения n <<N (число регистрируемых распадов несравненно меньше полного числа радиоактивных ядер) и <<1 (время измерения мало по сравнению со средним временем жизни изотопа).

Первое из этих неравенств позволяет в выражении для заменить N! на Nⁿ(N-n)!, после чего с помощью второго неравенства получим распределение Пуассона:

. (4.9)

где введено обозначение .

Посмотрим, как будет зависеть от n при обычно соблюдаемом в экспериментах условии N t >> 1. При малых n величина очень мала (из-за большого отрицательного показателя в экспоненте). С ростом n начнется увеличение за счет множителя (N t)ⁿ. При n = N t это увеличение прекратится и сменится падением, так как знаменатель n! будет расти быстрее числителя. Таким образом, представляет собой функцию с максимумом при n = N t, монотонно спадающую по обе стороны от максимума. При этом оно является асимметричным.

Нетрудно убедиться, что, несмотря на сделанные в (4.9) приближения, сумма всех вероятностей остается равной единице:

Зная выражение для вероятности того, что за время t распадется n частиц, мы можем вычислять средние для любых зависящих от числа частиц величин по обычной формуле для среднего:

. (4.10)

Так, для среднего числа ядер , распавшихся за время t, получим

. (4.11)

Таким образом, среднее число ядер, распадающихся в единицу времени, совпадает с максимумом пуассоновского распределения.

Из (4.11) видно, что активность A определяется формулой

, (4.12)

N - начальное число распадающихся ядер. Независимость активности от времени связана с принятым выше приближением <<1.

Для получения статистических отклонений от средних значений вычислим дисперсию D, определяемую формулой

. (4.13)

Величина получается из (4.11):

. (4.14)

Величина вычисляется по аналогии с (4.11):

. (4.15)

Отсюда для дисперсии в случае распределения Пуассона получается выражение

. (4.16)

Стандартное отклонение

. (4.17)

Итак, распределение Пуассона

характеризуется всего одним параметром , представляющим собой среднее число отсчетов, которое мы ожидаем получить в случае многократного повторения измерений.

На рис. 4.2 показаны распределения Пуассона для случаев , и . Видно, что в случае наиболее вероятные значения результатов отдельных измерений n = 0, 1. В случае наиболее вероятны значения n = 1, 2, 3. Для малых значений распределение Пуассона ассиметрично относительно . Как видно из рис. 4.2, распределение Пуассона имеет довольно значительную ширину. Так, например, в случае довольно большая вероятность того, что измеренное значение может быть равно от 2 до 10.

Если проведено только одно измерение, то оценкой среднего значения будет измеренное в этом эксперименте значение . Оценкой стандартного отклонения является величина . Для ожидаемого среднего значения числа отсчётов в результате одного измерения получается следующая оценка результата измерения:

. (4.18)

При n >> 1 в указанном интервале будет находиться около 70 % из общего количества зарегистрированных частиц.

Относительная ошибка результата измерения d определяется соотношением

Рис. 4.2. Распределения Пуассона для случаев

. (4.19)

Если увеличить время измерения или число измерений в m раз, не изменяя другие условия эксперимента, то получится большее число отсчетов - mn, и одновременно увеличится стандартное отклонение

. (4.20)

Однако относительная погрешность d при этом уменьшится

. (4.21)

Рассмотрим это на примере проведенных нами измерений.

Первое измерение активности радиоактивного препарата в течение 1 секунды дало значение активности источника A = 84 отсчетов/сек. Рассчитанное стандартное отклонение

отсчетов/сек.

Относительная ошибка в этом случае составляет

Для повышения точности измерений увеличим время эксперимента в 10 раз. Пусть за это время число отсчетов регистрирующего устройства составило n = 796. В этом случае величина стандартного отклонения для активности составила

Относительная ошибка измерения уменьшилась и составила

Если привести полученный результат к 1 секунде, т.е. получить значение активности источника, то

имп./сек,

т.е. полученный результат будет гораздо точнее, т.к. относительная точность результата теперь равна 3,54%.

В первом случае для активности источника было получено значение

распадов/сек,

во втором -

распадов/сек.

Результаты обоих измерений в пределах ошибок согласуются, но точность второго измерения выше. Чем больше распадов зарегистрировано в результате измерений, тем выше относительная точность результатов измерений.

Таким образом, если результаты отдельного измерения величины n распределены вокруг среднего значения n с шириной , то результат N аналогичных измерений будет распределен вокруг среднего значения , но с шириной , где . Величина называется стандартным отклонением среднего, для серии из N независимых измерений.