Операции над событиями. Алгебра событий

Основные понятия теории вероятностей: опят, исход опыта, пространство элементарных исходов. Примеры.

А) Опыт: н-кратное осуществление м-массовых (которое можно постоянно повторять) случайных явлений (н, м ≥1). Мы не можем знать чем закончиться опыт, но мы можем перечислить все его возможные исходы: w1, w2…wn.
Б) Исход опыта: некоторый простейший(неделимый) результат опыта.
В) Пространство элементарных исходов: все возможные исходы опыта объединяются во множества, которые называются пространством элементарных исходов и обозначается: W= (w1, w2…wn).

Количество исходов опыта, то есть число элементов множества W, называется множеством этого множества. Если исходов н- конечное число, то мощность множества равно «н». Если исходов счетное число, то мощность │W │== мощности множества натуральных чисел. Если исходов несчетное число, то мощность │W │=множество мощности континуума.
Г) ПРИМЕР:
Опыт(массовое явление)- бросание монеты 3 раза, исходы – результаты трёх бросаний (8). Пространство элементарных исходов W= (w1, w2, w3,w4, w5, w6, w7, w8). Мощность │W│=равно 8.

Основные определения теории вероятностей: случайные события, благоприятствующие исходы, совместные и несовместные события.

А)Случайным событием называется любое подмножество пространства элементраных исходов.
W= (w1, w2…wn).

А= (wi1, wi2…win). ╟ = A<W, а значит А-случайное событие.

Б) Благоприятствующие исходы. Исходы, составляющие событие А, называются благоприятствующими событию А или, что более точно: приводящими к наступлению события А. Таким образом, как только в результате проведения опыта наступит 1 из возможных исходов, так сразу наступят все события, в состав которых входит этот исход.

В)События называются совместимыми, если у них есть общие исходы (тк при наступлении этих общих исходов эти события одновременно произойдут).

Г) События называются несовместимыми, если у них нет общих исходов, поэтому они никогда не произойдут одновременно.

Д) ПРИМЕР: опыт- бросается игральная кость 1 раз, исходы – выпадение 1 из 6 очков. Пространство элементарных событий W= (w1, w2, w3,w4, w5, w6).
А=(w1, w3, w5)
В=(w2, w4, w6)
С=(w3,w6). Совместные А и С, В и С. Несовместимые А и В.
Если опыт имеет n-возможных исходов, то с этим опытом связано 2^n случайных событии.

Вероятностное пространство опыта: множество всех событий, связанных с опытом, как множество всех подмножеств пространства элементарных исходов. Два типа классификации событий: по возможности наступления и по составу.

А) случайные события по возможности их наступления делятся на 3 вида: достоверное событие (это то, что совпадает со всем W множеством, поскольку при проведении опыта обязательно наступит 1 из возможных исходов, то и событие W обязательно произойдет); случайные (любое собственное подмножество множества W, то есть отличное от самого W и от нулевого множества, поскольку событие происходит, если наступает благоприятствующий ему исход, то оно может произойти,а может и не произойти); невозможное событие (поскольку любой наступивший в результате опыта исход не будет благоприятствовать этому событию, то этого никогда и не произойдет).

Б) Случайные события по составу делятся на 2 вида: элементарные (ничто иное, как одноэлементные подмножества W, то есть исходы получают статус события); составные исходы (содержащие 2 или более элементов).

Таким образом, исходы образуют базу для образования событий. Если опыт имеет n-возможных исходов, то с ним связано 2^n случайных событий.
В) Вероятностное пространство опыта.
Множество всех событий, связанных с опытом, содержит 2^n событий и обладает структурой алгебры.
Во множестве всех событий S (2^n), связанных с опытом, определены операции над событиями, основными из которых является сложение событий, умножение событий и относительно которых:

Опыт

Множество всех событий S замкнуто, то есть производя эти операции над событиями, мы не получаем иных событий кроме уже имеющихся 2^n, то есть остаемся в этом же множестве; 2) множество событий S наделяется структурой алгебры и поэтому называется алгеброй событий S.

Операции над событиями. Алгебра событий.

Алгебра событий – это множество S=2^n элементов, в которых содержатся операции умножения и сложения.
А) Объединяя благоприятствующие события А и В исходы, мы получаем подмножества во множестве W, то есть событие которое называется суммой событий А и В, и обозначается: А В.

Б) Выбирая благоприятствующие исходы, одновременно принадлежащие и событию А, и событию В, мы получаем некоторое подмножество пустое (в случае если А и В несовместна) или непустое (А и В совместны), которое называется произведением А и В, и обозначается А В.