Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(8.1).
Эту формулу можно записать в виде
.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
1. - переместительный закон.
2. - распределительный закон
3.
4. , отсюда
5. Если , то - условие перпендикулярности векторов и
6. , - вектор силы, - вектор перемещения, - работа силы .
Если и заданы в прямоугольной системе координат , то (8.2).
Упорядоченная тройка векторов называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.
Рис. 7.
Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна , он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы и образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается .
Векторное произведение имеет следующие свойства:
|
|
1.
2.
3.
4. Если , то
5. , где - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: и , то:
(8.3).
Если вектор силы, приложенной в точке , а радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат равен:
.
Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается .
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:
(8.4).
Свойства смешанного произведения векторов:
1. - условие компланарности векторов;
2. - объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;
3. - циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;
4.
Пример 11. Даны вершины пирамиды . Найти 1) угол между ребром и гранью ; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды ; 4) длину высоты, опущенной из вершины на грань .
Решение. Вычислим координаты вектора :
.
Угол между ребром и гранью является дополнительным углом для угла , образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . . Для нахождения вычислим координаты векторного произведения векторов и :
;
.
.
;
.
1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах и , т.е.
.
2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,
построенного на ребрах и . Следовательно
.
3) Длина высоты определяется из формулы:
; .
Ответ: ; ; ; .