2015-04-12
5054
Векторы можно умножать скалярно и векторно. Скалярным произведением двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
(8.1).
Эту формулу можно записать в виде
.
Скалярное произведение имеет следующие свойства:
1. 
- переместительный закон.
- 3. 
4. 
, отсюда 
5. Если 
, то 
- условие перпендикулярности векторов и
6. 
, 
- вектор силы, 
- вектор перемещения, 
- работа силы .
Если и заданы в прямоугольной системе координат 
, то 
(8.2).
Упорядоченная тройка векторов 
называется правой, если кратчайший поворот от вектора к вектору из конца вектора 
виден совершающимся против часовой стрелки. Рис.7.
 |
 |
 |
Рис. 7.
Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , длина которого равна 
, он перпендикулярен векторам и и направлен в ту сторону, что векторы 
и 
образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается 
.
Векторное произведение имеет следующие свойства:
1. 
2. 
3. 
4. Если 
, то 
5. 
, где 
- площадь параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.
Если векторы и заданы в прямоугольной системе координат: 
и 
, то:
(8.3).
Если вектор силы, приложенной в точке 
, а 
радиус-вектор точки , то момент силы , относительно начала координат 
равен:
.
Смешанным произведением трех векторов и называется их векторно-скалярное произведение. Обозначается 
.
Если заданы координаты векторов в прямоугольной системе координат, то их смешанное произведение вычисляется по формуле:
(8.4).
Свойства смешанного произведения векторов:
1. 
- условие компланарности векторов;
2. 
- объем параллелепипеда, построенного на векторах, как на сторонах;
3. 
- циклическая перестановка сомножителей не меняет величины смешанного произведения;
4. 
Пример 11. Даны вершины пирамиды 
. Найти 1) угол между ребром 
и гранью 
; 2) площадь грани ; 3) объем пирамиды 
; 4) длину высоты, опущенной из вершины 
на грань .
Решение. Вычислим координаты вектора 
:
.
Угол 
между ребром и гранью является дополнительным углом для угла 
, образованного перпендикуляром, проведенным к плоскости треугольника и ребром . 
. Для нахождения 
вычислим координаты векторного произведения векторов 
и 
:
;
.
.
;
.
1) Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на сторонах 
и 
, т.е.
.
2) Объем пирамиды равен одной трети от объема параллелепипеда,
построенного на ребрах 
и 
. Следовательно
.
3) Длина высоты 
определяется из формулы:
; 
.
Ответ: 
; 
; 
; 
.
