Кривизна и радиус кривизны траектории

Кривизна кривой где – угол поворота касательной к кривой на участке длиной .

Радиус кривизны - величина, обратная величине кривизны:

Радиус кривизны окружности есть радиус этой окружности; радиус кривизны прямой бесконечно велик. Радиус кривизны измеряется в метрах.

Точка нормали, отстоящая от данной точки траектории в направлении вогнутости кривой на расстояние , называется центром кривизны кривой, соответствующим данной точке кривой. Геометрическое место центров кривизны образует линию - эволюту исходной кривой (evolutus (лат.)– развернутый; voluto – катать, катить). Исходная кривая является эвольвентой относительно своей эволюты (evolventis – разворачивающий).

♦ Если аппроксимировать траекторию на участке (рис. 2) дугой окружности, то её центр лежит в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин хорд и . Предельное положение точки при условии , когда , есть центр кривизны траектории в точке М.

Если с катушки радиуса R сматывать нить, сохраняя отмотанную часть прямой, то конец нити опишет одну из эвольвент окружности, а именно, соответствующую той точке, с которой начал сматываться конец нити. На рис. 3,а изображена эвольвента окружности радиуса , соответствующая крайней правой начальной точке при сматывании нити против часовой стрелки. Параметрические уравнения этой эвольвенты

а б в

Рис. 3. Эвольвента окружности. Винтовые линии

При эта кривая приближается к спирали Архимеда, уравнение которой в полярных координатах .

Зубцы колес большинства зубчатых передач имеют эвольвентный профиль, благодаря чему минимизируется скольжение зубца по зубцу и упрощается изготовление самих зубчатых колес. Основу профилей зубцов составляют эвольвенты («развертки») основных окружностей (см. «Теорию машин и механизмов») зацепляющихся колес.

1.1.15. Естественный трехгранник (натуральный триэдр) - трехгранник, построенный на осях касательной, нормали и бинормали. Орт бинормали определяется как ; тогда и . Соприкасающаяся плоскость проходит через касательную и нормаль. Плоскость, содержащая нормаль и бинормаль, называется нормальной плоскостью, а плоскость, содержащая бинормаль и касательную, - спрямляющей. Естественный трехгранник ориентирован в пространстве соответственно форме кривой. Информация о форме (о внутренней геометрии кривой) может быть использована при исследовании движения материальной точки по данной кривой.

Пространственной кривая независимо от её расположения относительно окружающих предметов может быть описана путем задания в каждой точке кривизны и кручения (греч. «каппа») кривой:

.

Величина кручения где – угол поворота бинормали к кривой на участке длиной .

Имеют место формулы Серре – Френе:

; .

Кривизна – положительный параметр. Кручение «правой» винтовой линии, изображенной на рис. 3, б, положительно. Кручение «левой» (рис. 3, в) – отрицательно.

1.1.16. Равнопеременное движение точки определяется условием

; тогда имеют место формулы: