2015-06-24
909
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.
Скалярное произведение векторов 
и 
обозначается 
(или 
, или 
).
Если 
- угол между векторами и , то по определению 
.
Так как 
, то справедлива формула 
. Справедлива и формула 
.
Итак, 
Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
1). 
(коммутативный закон). Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.
2). 
(ассоциативный закон). ►Действительно, 
.◄
3). 
(дистрибутивный закон.) ► 
◄
4). 
.
Скалярное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.
►Необходимость. Пусть 
, тогда 
, откуда либо один из векторов нулевой, либо 
. Если один из векторов нулевой, то ему можно приписать любое направление, и векторы и перпендикулярны. Если же , то угол прямой и векторы и перпендикулярны.
Доказано, что из 
следует 
.
Достаточность. Пусть , тогда , а, следовательно, . Следовательно, из следует .◄
5). 
.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора.
►Действительно, 
◄
