Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними.
Скалярное произведение векторов и обозначается (или , или ).
Если - угол между векторами и , то по определению .
Так как , то справедлива формула . Справедлива и формула .
Итак,
Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного из этих векторов и проекции другого на направление первого.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами.
1). (коммутативный закон). Это свойство непосредственно следует из определения скалярного произведения.
2). (ассоциативный закон). ►Действительно, .◄
3). (дистрибутивный закон.) ►
◄
4). .
Скалярное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.
►Необходимость. Пусть , тогда , откуда либо один из векторов нулевой, либо . Если один из векторов нулевой, то ему можно приписать любое направление, и векторы и перпендикулярны. Если же , то угол прямой и векторы и перпендикулярны.
|
|
Доказано, что из следует .
Достаточность. Пусть , тогда , а, следовательно, . Следовательно, из следует .◄
5). .
Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины этого вектора.
►Действительно, ◄