Композиция симметрий плоскости

Теорема 6. Поворот плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых пересекаются. Центром поворота будет точка пересечения осей, а угол поворота равен двойному углу от первой оси до второй.

Доказательство. a=2j, f = S₂·S₁. Необходимо показать, что движение f - поворот. Действительно f - движение первого рода (т.е. либо параллельный перенос, либо поворот,), так как ориентация репера меняется дважды и возвращается к исходному. При осевой симметрии S₁ неподвижными точками будут точки прямой l₁, а при осевой симметрии S₂ - точки прямой l₂, но точка О останется неподвижной как в первом так и во втором случаях.

Следовательно, движение f имеет одну неподвижную точку О. Следовательно, f - поворот вокруг точки О.

Найдем угол поворота: возьмем произвольно точку МÎl₁ f(M)=S₂(S₁(M))=S₂(M)=M^', a=2j. f - поворот на угол 2j вокруг точки О. Докажем обратное. Пусть мы имеем поворот на угол 2j вокруг точки О (угол 2j - ориентированный). Проведем через точку О пару прямых l₁ и l₂ так, чтобы угол от прямой l₁ к прямой l₂ составлял j.

Поэтому . Если бы мы взяли ещё пару прямых, проходящих через точку О, угол между которыми был бы равен j и рассмотрели бы произведение осевых симметрий относительно этих осей, то это был бы один и тот же поворот

▄

Теорема 7. Параллельный перенос плоскости есть произведение двух осевых симметрий, оси которых и l₂ параллельны и удовлетворяют условию: 1) , 2) расстояние между осями равно и направление вектора совпадает c направлением от первой прямой до второй.

Доказательство. Пусть прямые и l₂ параллельны и удовлетворяют условию: 1) , 2) расстояние между осями равно , и направление вектора совпадает c направлением от первой прямой до второй. Обозначим осевые симметрии относительно этих прямых, соответственно, и .

Произведение - есть движение первого рода (т.к. не меняет ориентации). Неподвижных точек здесь нет. Поэтому, это движение является параллельным переносом. Найти вектор этого параллельного переноса можно так:

выберем точку и найдем ее образ Þ _.

Длина вектора в два раза больше расстояния между данными параллельными прямыми и l₂, а направление вектора совпадает c направлением от первой прямой до второй и . Докажем обратное: покажем, что параллельный перенос есть произведение двух осевых симметрий с параллельными осями. Вектор - определен. Проведем две параллельные прямые, перпендикулярные вектору , так чтобы расстояние между ними было равно ,и направление от первой прямой до второй совпадало с вектором . Тогда, как доказано выше,

.

Замечание: мы можем пару параллельных прямых, определяющих параллельный перенос смещать параллельно и при этом параллельный перенос остается прежним.

▄

Теорема 8. Всякое движение плоскости можно представить в виде произведения не более трех осевых симметрий.

Доказательство. Мы имеем параллельный перенос - произведение двух осевых симметрий; поворот - произведение двух осевых симметрий; скользящая симметрия есть произведение осевой симметрии и параллельного переноса, следовательно, произведение трех осевых симметрий.

▄

Теорема 9. Если прямые и b перпендикулярны, то

S × S = S × S = Z_0, О - точка пересечения прямых а и b.

Доказательство. Пусть а ^ b. Если О - точка пересечения прямых а и b, то композиция S × S представляет собой поворот на угол 180°, то есть центральную симметрию относительно точки О: S × S = Z_0. Аналогично, композиция S × S =Z_{0 .}

Следовательно, S × S = S × S .

▄

Теорема 10. Если имеет место равенство S × S = S × S ,

то а ^ b.

Доказательство. Докажем методом от противного: предположим а и b не перпендикулярны, тогда они или пересекаются под углом a¹9°, или параллельны.

Если прямая а пересекается с b под углом a ¹ 9°, то S × S есть поворот вокруг точки пересечения прямых на угол 2a, а композиция S × S – поворот вокруг той же точки, но на угол –2a, т.е. S × S ¹ S × S .

Если а || b, то S × S и S × S - параллельные переносы на противоположные векторы 2 и –2 . Поэтому S × S ¹ S × S .

Но это противоречит условию. Следовательно, если имеет место равенство S × S = S × S , то прямые, определяющие эти симметрии взаимно перпендикулярны.

▄