Визначений інтеграл. Властивості визначеного інтегралу

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

Формула Ньютона—Лейбніца

Нехай функція f неперервна на відрізку [а, b] та F — певна первісна для f на цьому відрізку, тоді:

Ця формула називається формулою Ньютона—Лейбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовуеться позначення:

Геометричний зміст визначеного інтегралу

Необхідно обчислити визначений інтеграл

за умови, що а і b - певні числа, а є неперервною функцією на інтервалі інтегрування Для цього розіб'ємо відрізок на часткових інтервалів точками з кроком , у кожному з яких виберемо довільні точки.

Формула Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Геометричний зміст визначеного інтегралу полягає в тому, що він чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої прямими та функцією У самому визначенні його фактично вже закладена основна ідея чисельного інтегрування. Адже шукана площа може показана як границя інтегральної суми.