Студопедия
Поделиться в соц. сетях:


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ




Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков[37], разложенных на песке или на счетной доске — абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии — это натуральные числа.

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными:

линейные числа (т. е. простые числа) — числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:

(линейное число 5);

плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

(плоское число 6);

телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:

(телесное число 8);

треугольные числа:

(треугольные числа 3, 6, 10);

квадратные числа:

(квадратные числа 4, 9, 16);

пятиугольные числа:

(пятиугольные числа 5, 12, 22)

и т.д. Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести число в квадрат или куб».

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел , достаточно дополнить это число до прямоугольного числа и увидеть (именно увидеть глазами!) равенство

Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:

Наконец, разбивая n-е пятиугольное число на три треугольных (после чего остается еще n «камешков»), легко найти его общее выражение:

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n-го k-угольного числа:

откуда при следуют формулы (1.1.1 — 1.1.3).

Конечно, сегодняшний школьник легко заметит, что суммы (1.1.1 — 1.1.3) есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равна 1, 2, 3 (для k-угольного числа ), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (1.1.4):




Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны. (Не отсюда ли пошло это столь любимое математиками слово?)

Заметим, что при выводе равенства (1.1.2) был использован излюбленный пифагорейцами метод гномона. Гномоном (Γνωμων — знаток, толкователь) пифагорейцы называли число или фигуру (черные точки в (1.1.2)), которая, будучи приложенной к основной фигуре (белые точки), сохраняет ее форму. Первоначально гномоном (буквально тот, кто знает) греки называли солнечные часы — прибор, позволявший по линиям, которые пересекает тень от вертикального столбика, разделять беспредельность времени на зримые части. Впоследствии число и стало для пифагорейцев таким гносеологическим гномоном, дававшим возможность различать вещи и тем самым овладевать ими в сознании. Методом гномона растут все живые организмы, что позволяет им сохранять свою индивидуальную форму.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов. Так, представляя плоское число 10 в двух формах:

легко «увидеть» переместительный закон умножения:

В том же числе 10:

можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения:

и т. д.

Наконец, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab:



мы автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: .

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о четном и нечетном». Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное — нечетное наряду с такими парами, как предел — беспредельное, мужское — женское, доброе — злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего.

Исследователи Евклида давно обратили внимание на конец IX книги его «Начал» (предложения 21 — 34), который явно выпадал из общего контекста книги и выделялся своей архаичностью. Сегодня ни у кого не вызывает сомнения, что эта часть «Начал» есть не что иное, как целиком воспроизведенный фрагмент древнего пифагорейского учения о четном и нечетном.

Мы не будем приводить здесь все 14 предложений о четном и нечетном, а отметим лишь их основной результат, который можно сформулировать так: произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей четен. Этой теореме суждено было сыграть кардинальную роль во всем пифагорейском учении, ибо именно на нее опиралось доказательство знаменитой теоремы о несоизмеримости, которую мы рассмотрим на с. 141.

Вершиной пифагорейского учения о четном и нечетном является последнее предложение IX книги «Начал» Евклида — предложение 36, посвященное совершенным числам. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например:

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Предложение 36 утверждает, что если сумма

является простым числом, то число будет совершенным.

Поскольку ясно, что правильными делителями числа будут числа

то доказательство предложения 36 сводится к доказательству двух утверждений:

1) других делителей, кроме (1.1.5), у числа нет;

2) сумма делителей равна самому числу, т. е.

Первое утверждение доказывается с помощью учения о четном и нечетном (предложения 21 — 34). А вот второе доказательство легко провести на «камешках».

В самом деле, так как по условию , то, сокращая в (1.1.6) обе части равенства на p, имеем

Теперь изобразим данную сумму фигурными числами:

откуда легко «усмотреть» равенство (1.1.7).

Учитывая (1.1.7), получим компактную форму записи совершенного числа :

Итак, число

является совершенным при тех значениях n, при которых число является простым.

Легко найти первые подходящие значения n:

Первые четыре совершенных числа были известны пифагорейцам.

А есть ли другие совершенные числа, кроме чисел вида (1.1.8), найденных пифагорейцами? Этот вопрос вот уже 2500 лет, увы, остается открытым. Ясно, что совершенные числа вида (1.1.8) являются четными. Лишь в XVIII в. великий Эйлер доказал, что никаких других четных совершенных чисел нет. Однако до сих пор не известно ни одного нечетного совершенного числа и вопрос об их существовании все еще ждет своего решения. На сегодня лишь известно, что нечетных совершенных чисел в промежутке нет. Четных совершенных чисел на сегодня найдено 27, наибольшее из них равно .

Не правда ли, удивительно, как в, казалось бы, невинной забаве с раскладыванием камешков на песке древние пифагорейцы сумели отыскать математическую проблему, которая и по сей день остается нерешенной?! И просто поражает интуиция пифагорейцев, нашедших задолго до нашей эры единственную (пока или навсегда?!) формулу для совершенного числа!





Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 1394; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 8650 - | 6582 - или читать все...

Читайте также:

 

34.228.41.66 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.006 сек.