Задача 16

Банк 1 января учел два векселя со сроками погашения 5 февраля и 13 марта того же года. Применяя учетную ставку 10% годовых, банк удержал комиссионные в размере 1000 руб. Определить номинальную стоимость векселей, если номинальная стоимость второго векселя в 2 раза больше, чем номинальная стоимость первого векселя.

Решение

Обозначим номинальную стоимость первого векселя через F, тогда номинальная стоимость второго векселя составит 2 ⋅ F. По таблице порядковых дней в году определим, что первый вексель учтен за

36 дней до срока погашения, а второй вексель учтен за 72 дня до срока погашения.

Величина дисконта для первого векселя равна

D 1 = F ⋅ n ⋅ d = F ⋅ 36/360⋅ 0, 1 = 0, 01 ⋅ F:

По формуле (1.11) величина дисконта для второго векселя равна

D 2 = 2 F ⋅ n ⋅ d = 2 F ⋅ 72/360⋅ 0; 1 = 0; 04 ⋅ F:

Учитывая, что комиссионные банка за учет двух векселей составили 1000 руб.,

запишем:

D 1 + D 2 = 1000;

0; 01 F + 0; 04 F = 1000;

F = 20000:

Номинальная стоимость первого векселя составит 20 тыс. руб, номинальная

стоимость второго векселя составит 40 тыс. руб.

Задача 17

Банк учел вексель по простой учетной ставке 20% годовых за полгода до срока погашения. Какова доходность этой операции для банка, выраженная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение

Пусть F — номинальная стоимость векселя. Тогда владелец векселя получает сумму P = F ⋅ (1 − 0; 5 ⋅ 0; 2) = 0; 9 ⋅ F:

Доходность банка, выраженную в виде простой ссудной ставки, находим:

r =(F − P) P ⋅ n = 0; 22 или 22%:

Доходность этой операции для банка, выраженная в виде простой ставки ссудного процента, равна 22 процента годовых.

Задания на контрольную работу

ВАРИАНТ 1

Вопрос 1 Операции со сложной учетной ставкой (наращение и дисконтирование по сложной учетной ставке).

Вопрос 2 Учет инфляции в экономических расчетах.

Задача 1 Предприятие получило кредит на 1 год в размере 7 000 000 руб. с условием возврата 8 000 000 руб. Рассчитать простую процентную ставку.

Задача 2 Найти современную стоимость потока с платежами 40, 50, 45, 70, которые выплачиваются в конце каждого полугодия. Процентная ставка — 12% за полугодие.

Задача 3 В данный момент акции A и В имеют курсовые стоимости 50 и 20 руб., а их ожидаемые доходности тА = 12%, тв = 8%. Инвестор имеет 100 тыс. руб. и хочет приобрести эти акции, вложив в каждый вид половину своего капитала. В конце года он собирается их продать и получить прибыль. Определить:

а) риск каждой акции и портфеля в целом, если ковариационная матрица доходностей (в виде десятичной дроби) будет равна:

б) характеристику VAR, основанную на нормальном распределении и оценивающую максимально возможные потери капитала по уровню значимости 95%.

Задача 4 Портфель состоит из двух пакетов акций стоимостью 3000 тыс. руб. и 2000 тыс руб. Ожидаемая доходность по первому пакету составляет 12%, а по второму - 16%. Какова ожидаемая доходность портфеля в целом?

Задача 5 Оценить текущую стоимость облигации номинальной стоимостью 1 млн руб., с купонной ставкой 16% годовых и сроком погашения 5 лет. Ставка дисконта г = 10%.

ВАРИАНТ 2

Вопрос 1 Математическое дисконтирование по сложным процентам.

Вопрос 2 Потоки платежей, их классификация и основные параметры.

Задача 1 Какую сумму нужно положить в банк, выплачивающий 4 % годовых по простой процентной ставке, чтобы получить 50 000 руб.: а) через 4 месяца; б) через 1 год; в) через 2 года 9 месяцев.

Задача 2 Суммы в размере 10, 20 и 15 млн руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны согласились заменить их при использовании простой ставки одним платежом в размере 50 млн руб. Процентная ставка —10%. Определить:

а) срок консолидированного платежа;

б) как изменится этот срок, если размер объединяющего платежа задан в сумме 45 млн. руб.?

Задача 3 «Вечная» облигация, приносящая 4,5% фиксированного годового дохода, куплена по курсу 90%. Какова эффективность вложения (сложная ставка годового процента), если купонные выплаты по облигации производятся поквартально?

Задача 4 В начале года инвестор владел четырьмя видами ценных бумаг в следующих количествах и со следующими текущими и ожидаемыми к концу года ценами:

Ценная бумага	Количество акций	Текущая цена, долл.	Ожидаемая цена к концу года, долл.
A
B
C
D

Какова ожидаемая доходность этого портфеля за год?

Задача 5 Оценить текущую стоимость облигации с нулевым купоном номинальной стоимостью 1 млн руб. и сроком погашения через 3 года. Ставка дисконта 12%.

ВАРИАНТ 3

Вопрос 1 Операции с простой учетной ставкой (наращение и дисконтирование по простой учетной ставке).

Вопрос 2 Наращение и приведение финансовых рент.

Задача 1 Организации предоставлен кредит в размере 100 000 000 руб. под 17 % годовых с 1 января по 1 июля текущего года. Определить подлежащую возврату сумму, применяя разные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

Задача 2 Ожидается, что прирост доходов составит 5% в год. Какова современная стоимость и наращенная сумма доходов за 3 года, если прогнозируемая сумма 1-го года — 100, а процентная ставка - 7%? Решить задачу для следующих вариантов описания потока доходов:

а) рента постнумерандо;

б) доходы рассредоточены в пределах года.

Для уменьшения погрешности модели «а» доходы за год отнести к середине каждого периода.

Задача 3 Инвестор приобрел за 2300 руб. привилегированную акцию номинальной стоимостью 2000 руб. с фиксированным размером дивиденда 15% годовых. Через 5 лет (в течение которых дивиденды регулярно выплачивались) акция была им продана за 2100 руб. Определить конечную (среднегодовую) доходность по данной акции.

Задача 4 При вложении капитала в мероприятие А в 20 случаях из 200 была получена прибыль в 25 тыс. руб., в 80 случаях — 30 тыс. руб., в 100 случаях — 40 тыс. руб. При вложении капитала в мероприятие В в 144 случаях из 240 была получена прибыль 30 тыс. руб., в 72 случаях — 35 тыс. руб., в 24 случаях — 45 тыс. руб. Выбрать вариант вложения капитала:

а) по критерию средней прибыли;

б) по критерию колеблемости прибыли;

в) по критерию относительной колеблемости прибыли

Задача 5 Оценить текущую стоимость бессрочной облигации, если по ней ежегодно выплачивается доход в размере 100 ООО руб. Ставку дисконта принять равной 1 0%.

ВАРИАНТ 4

Вопрос 1 Математическое дисконтирование по простым процентам.

Вопрос 2 Формы ссуд и амортизация долга.

Задача 1 Для финансирования оборотного капитала предприятие взяло кредит в банке в размере 100 000 000 руб. сроком на 2 года с ежегодным погашением процентов. Ставка процента за пользование заемными средствами 15 % годовых. Определить сумму погашения кредита и сумму начисленных процентов.

Задача 2 Предполагается, что платежи каждый год будут уменьшаться

на 50 тыс. руб. Первая выплата равна 500 тыс. руб. Платежи и начисления процентов производятся один раз в конце года на протяжении 8 лет, ставка — 6% в год. Необходимо найти современную величину и наращенную сумму данной ренты.

Задача 3 АО в 2010 г. выпустило обыкновенные акции в количестве 100 тыс. штук номинальной стоимостью 100 руб. каждая. Инвестор «X» приобрел в 2012 г. пакет акций, состоящий из 100 штук, по цене 150 руб. за акцию. Рыночная стоимость одной акции в настоящее время - 300 руб. Определить:

а) текущую доходность пакета акций инвестора X (без учета налогов), если ежегодный дивиденд по акциям выплачивается в размере 60 руб. на одну акцию;

б) какова текущая доходность точно такого же пакета акций для его потенциального покупателя Y?

Задача 4 Выбрать наименее рискованное направление инвестиций из двух возможных вариантов:

а) собственные средства инвестора — 5 млн руб., максимально возможная сумма убытков — 3,5 млн руб.;

б) собственные средства инвестора — 30 млн руб., максимально возможная сумма убытков — 12 млн руб.

Задача 5 Определить ориентировочную рыночную стоимость облигации номиналом 100 000 руб. при условии, что срок погашения облигации через 3 года, купонная ставка 10% годовых, ставка банковского процента 4%.

ВАРИАНТ 5

Вопрос 1 Сущность и методы дисконтирования.

Вопрос 2 Погашение долга равными суммами (равномернопогашаемые ссуды).

Задача 1 Молодая семья получила в банке ипотечный кредит на приобретение квартиры в размере 600 000 руб., сроком на 5 лет под простую процентную ставку 15 % годовых. Определить сумму основного долга и процентов по кредиту.

Задача 2 Доходы в размере 100 тыс. руб. в год поступают непрерывно и равномерно в течение 3 лет. Ожидается, что инфляция в будущем составит 5% в год и величина доходов будет определяться с поправкой на инфляцию. Какова современная стоимость корректируемого на инфляцию потока поступлений, если годовая ставка составляет 7%? Решить задачу для двух вариантов описания динамического ряда платежей:

а) дискретная рента;

б) непрерывный поток платежей.

Задача 3 Облигации с купоном 9,5% продается по курсу 98%.Чему равна ее текущая доходность?

Задача 4 Инвестор желает приобрести 10-летние бескупонные облигации сроком на 1 год с погашением по номиналу. Согласно структуре процентных ставок, годовая доходность к погашению ожидается на уровне 7%, а ее волатильность (СКО) - 15%. Опираясь на нормальный закон распределения доходности, получить следующие оценки:

а) найти интервал, внутри которого сосредоточены 98% возможных уклонений итоговой за год доходности г от ее среднего значения (98%-й доверительный интервал);

б) при том же уровне значимости (98%) определить диапазон возможных годовых приростов А(выигрышей или потерь) начальных вложений в размере 1 млн руб.;

в) как изменится доверительный с тем же уровнем значимости интервал по доходности и приростам капитала для диапазона дальновидности инвестора, равного 30 дням;

г) оцените величину максимально возможных потерь (VAR) при условии, что инвестор пренебрегает вероятностями неблагоприятных исходов ниже 0,01.

Задача 5 Трехгодичная купонная облигация номиналом 100 долл. и с купонной ставкой 6% имеет текущую стоимость 92,6 долл. Ставки налогов на прирост капитала и процентный доход одинаковы и равны 30%. Требуется:

а) определить полную годовую доходность этой облигации;

б) найти реальное значение этой доходности, если ожидается инфляция с годовым темпом 4%;

в) рассчитать внутреннюю доходность;

г) определить ее реальное значение при инфляции с тем же темпом 4%.

ВАРИАНТ 6

Вопрос 1 Наращение по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления.

Вопрос 2 Равные процентные выплаты (срочная ссуда).

Задача 1 Коммерческий банк привлекает средства населения под простые проценты 10 % годовых. Клиент внес 20 000 руб. на депозит с 10 мая по 15 октября. Определить величину коэффициента наращения и наращенную сумму:

а) при начислении точных процентов с точным числом дней в году;

б) при начислении точных процентов с банковским числом рабочих дней. Год не високосный.

Задача 2 Владелец малого предприятия предусматривает создание в течение 3 лет фонда развития в размере 150 тыс. руб. Он рассматривает две возможности создания этого фонда с помощью банковского депозита с начислением по сложной ставке в 20% годовых:

а) ежегодными, равными платежами;

б) разовым вложением на 3 года.

Найти размеры помещаемых в банк сумм по каждому варианту.

Задача 3 Одновременно эмитированы облигации государственного займа для юридических лиц и депозитные сертификаты крупного, устойчиво работающего коммерческого банка. Условия выпуска облигаций следующие: период — 3 года, номинал - 1000 руб., дисконт при эмиссии — 15%, годовой доход — 10%. Условия выпуска депозитных сертификатов: период обращения — 3 года, номинал — 1000 руб., начисления производятся по простой ставке с годовым доходом 22%. По государственным облигациям доход налогом не облагается, по депозитным сертификатам доход облагается налогом по ставке 15%. Что выгоднее для инвестора: облигация или депозитный сертификат?

Задача 4 Инвестор выбирает между двумя акциями A и В. Каждая из них по-своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности:

Акция	Вероятность	Доходность	Вероятность	Доходность
А	0,5	20%	0,5	10%
В	0,99	15,1%	0,01	5,1%

Какую акцию выберет не склонный к риску инвестор?

Задача 5 Текущая ставка составляет 12%. Владелец бессрочной облигации полагает, что в недалеком будущем ставка процента вырастет и стабилизируется на уровне 13%. Что для него выгоднее: продать эту облигацию или сохранить ее?

ВАРИАНТ 7

Вопрос 1 Начисление сложных процентов несколько раз в году.

Вопрос 2 Равные срочные выплаты (аннуитетная ссуда).

Задача 1 Клиент поместил в банк 120 000 руб. 1 февраля. Процентная ставка банка с 1 февраля по 18 февраля – 8 % годовых; с 19 февраля по 7 марта – 9 % годовых; с 8 марта по 23 марта – 10 % годовых; с 24 марта по 19 апреля, когда был изъят вклад – 11 % годовых. Определить доход клиента и эффективную процентную ставку, используя методику расчета обыкновенных процентах с приближенных числом дней.

Задача 2 Инвестор ежегодно вносит в банк на пополняемый счет 30 тыс. руб. Банк платит 10% годовых по ставке сложного процента. Какова будет сумма вклада через 5 лет, если инвестор вносит очередной вклад:

а) в конце года;

б) в начале года;

в) в середине года?

Задача 3 Текущий курс акций составляет 30 долл. Инвестор соглашается купить опцион за 200 долл. на покупку 100 акций по 35 долл. через два месяца. Допустим, что к назначенному сроку курс акций поднимется до 50 долл. Какова годовая стоимость опциона

Задача 4 Инвестор вложил 60% своего капитала в акцию А, а оставшуюся часть — в акцию 5. Риски этих акций составляют соответственно 10 и 20%. Чему равен риск портфеля, если:

а) доходности этих бумаг находятся в полной прямой корреляции;

б) доходности некоррелированы;

в) имеет место положительная статистическая связь с коэффициентом корреляции 0,5.

Задача 5

Облигация выкупается через 10 лет по номиналу 1000 руб., доходность — 12%, ставка процента, принятая при оценке, равна 10%. Найти размер премии.

ВАРИАНТ 8

Вопрос 1 Сущность и формула наращения сложных процентов. Соотношение роста по простым и сложным годовым процентам.

Вопрос 2 Ссуды, погашаемые в рассрочку.

Задача 1 Производственное объединение «Русь» 1 сентября имеет на расчетном счете обслуживающего банка среднедневные остатки денежных средств в размере 612 000 руб. На вклады «до востребования» банк начисляет проценты – 3 % годовых. Определить сумму начисленных процентов на 16 декабря этого же года, применяя различные способы начисления процентов (точные и обыкновенные).

Задача 2 Требуется выкупить вечную ренту с платежами 5 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Получатель ренты начисляет проценты раз в году по ставке 25%. Чему равна сумма выкупа (стоимость ренты)?

Задача 3 Казначейские векселя достоинством в 100 долл. имеют периоды погашения 90 и 180 дней. Эти векселя продаются по цене 98,25 долл. и 96 долл. Оценить с точки зрения доходности сравнительную выгодность двух вариантов: покупка и погашение 90-дневных векселей или покупка 180-дневных бумаг и их продажа через те же 90 дней (предполагается, что кривая доходности сохраняется неизменной).

Задача 4 Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска, не более заданного, из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками'2 и 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?

Задача 5

Облигация с полугодовыми купонными выплатами приобретается за три месяца до погашения по курсу 105,23%. Купонная ставка составляет 20% годовых. Определить доходность облигации в виде годовой ставки:

а) простых процентов;

б) сложных процентов.

ВАРИАНТ 9

Вопрос 1 Начисление процентов в смежных календарных периодах и при переменных ставках.

Вопрос 2 Формирование погасительного фонда.

Задача 1 Коммерческая фирма получила в банке ссуду на 1,5 года на следующих условиях: за первое полугодие начисляется 17 % годовых, за второе и третье полугодие – 15 % годовых. Определить размер ссуды, полученной в банке, если сумма погашения ссуды составит 300 000 руб.

Задача 2 Платежи, поступающие в конце каждого квартала на протяжении 2 лет, образуют регулярный по времени поток, первый член которого равен 500 тыс. руб.; последующие платежи увеличиваются каждый раз на 25 тыс. руб. Начисление процентов производится раз в год по ставке 6%. Найти наращенную и современную стоимость ренты.

Задача 3 Инвестор купил в начале года 100 акций компании А по цене 100 руб. каждая. В течение года он получил 30 руб. дивидендов на каждую акцию. Найти текущий, капитальный и полный доходы и соответствующие годовые доходности, если к концу года цена за акцию выросла до 150 руб.

Задача 4 Случайная доходность ценной бумаги имеет нормальное распределение с ожидаемым значением E(R) = 14% и риском 15%. Облигации государственного займа дают безрисковую доходность 5%. Найти вероятность того, что вложение в эту бумагу будет выгоднее, чем покупка облигаций.

Задача 5

Эмитент выпускает облигации двух типов со сроком обращения 1 год и одинаковым номиналом. Облигации первого типа предусматривают ежеквартальную выплату купонов; по второму типу - два раза в год. Облигации приобретаются по номиналу (с учетом возможности реинвестирования купонных выплат при ставке квартальной доходности 10%). Определить:

а) отношение (в процентах) купона облигации первого типа к купону облигации второго типа (налогообложение не учитывать);

б) чему равна годовая доходность по обеим облигациям.

ВАРИАНТ 10

Вопрос 1 Сущность и формула простых процентов. Способы учета базы измерения времени.

Вопрос 2 Погашение ипотечной ссуды

Задача 1 Банк принимает валютные вклады на депозит под 12 % годовых при ежемесячном начислении процентов и их погашением в конце срока. Рассчитать доход клиента при вкладе 2 500 долл. на 6 месяцев.

Задача 2 откладывается на 3 года без изменения сумм выплат. Определить:

а) новый срок, при котором результат будет сбалансирован, т.е. добиться эквивалентности выплачиваемых сумм;

б) изменится ли ответ, если изменится размер платежа постоянной ренты;

в) изменится ли ответ, если платежи будут производиться в начале года;

г) как учесть разницу, образующуюся в связи с тем, что ответ получился дробным, а рента выплачивается за целое число лет?

Задача 3 Пять лет назад компания «Система» разместила облигации со сроком погашения 20 лет, купонной ставкой 17% и премией за досрочное погашение в размере 10%. Сегодня объявлено о досрочном погашении облигаций. Размещение облигаций осуществлено по номиналу 1000 долл. Рассчитать реализованную доходность облигаций для инвестора, купившего ее в ходе первичной эмиссии и вынужденного досрочно погасить ее.

Задача 4 Полная рыночная стоимость обыкновенных акций (собственный капитал) компании оценивается в 6 млн долл.; общая стоимость заемного капитала составляет 4 млн долл. Финансовые аналитики получили оценку «бета» вклада акций компании на уровне 1,5. Кроме того, известно, что ожидаемая премия за риск рыночного портфеля равна 9%. Данная компания привлекает заемный капитал под безрисковую ставку в 8%. Определить:

а) ожидаемую доходность акций этой компании;

б) р вклада ее активов;

в) стоимость капитала компании;

г) ставку дисконтирования для получения оценок эффективности

проектов, предназначенных для расширения действующего

производства;

д) ставку дисконтирования для оценки эффективности нового, задуманного компанией инвестиционного проекта с коэффициентом р = 1,2.

Задача 5 «Вечная» облигация, приносящая 4,5% фиксированного годового дохода, куплена по курсу 90%. Какова эффективность вложения (сложная ставка годового процента), если купонные выплаты по облигации производятся поквартально?

Список рекомендуемой литературы

Основная литература

1. Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики: учеб. пособ. / Б. П. Демидович, И. А. Марон. - 7-е изд., стереотип. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. - 664 с. - (Классическая учебная литература по математике).

2. Копченова, Н. В. Вычислительная математика в примерах и задачах: учеб. пособ. / Н. В. Копченова, И. А. Марон. - СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. - 367 с. - (Классическая учебная литература по математике).

3. Основы финансовых расчетов. Учебное пособие/ А.А. Климов, Н.Ю. Смирнова, С.В. Еремина - М.: Дело, 2010.

4. Тимофеева, Т. В. Финансовая статистика: учеб. пособ. / Т. В. Тимофеева, А. А. Снатенков, Е. Р. Мендыбаева. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 479 с.

Дополнительная литература

1. Задачи и тесты по финансовой математике. Учебное пособие- 2 изд. / В.В. Капитоненко м.: Финансы и статистика, 2011.

2. Задачи по финансовой математике. Учебное пособие / П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехова, С.В. - М.: КноРус, 2012.

3. Сантехники и провидцы. Расчеты по сделкам с ценными бумагами европейский финансовый рынок / Питер Норманн - М.: Манн, Иванов и Фербер, 2012.

4. Финансовая математика. Сборник задач / И.А. Печенижская - М.: Феникс, 2008.

5. Финансовая математика. Учебник - 3 изд. / Ю.Ф. Касимов - М.: Юрайт, 2011.

6. Финансовая математика. Учебное пособие / П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехова, С.В. - М.: КноРус, 2012.

7. Финансовые и коммерческие расчеты. Учебное пособие / Т.Н.Белова - М.: Феникс, 2007.

8. Элементарный курс теории вероятностей. Стохастические процессы и финансовой математика / К.Л. Чжун, Ф. АитСалхиа - М.: Бином, Лаборатория знаний, 2007.