Биномиальное распределение

Одно из самых важных распределений дискретных случайных величин, которые имеют применение в азартных играх и, в частности, в ставках на спорт. Допустим, что мы имеем возможность проводить испытания, в которых некоторое событие A может происходить с постоянной (не зависящей от предыстории) вероятностью P. Число K, случаев, когда происходит событие A при N испытаниях, описывается биномиальным распределением. Вероятность того, что при N испытаниях событие A случится ровно K раз равно P(K) = CKN PK(1-P)(N-K)

Традиционно в качестве наглядного примера события A используется выпадение орла или решки при подбрасывании монеты. Биномиальное распределение в данном случае является весьма точной моделью этой физической ситуации. В ставках на спорт это распределение применяется для оценки результатов игрока. Но здесь, в отличие от опытов по подбрасыванию монеты, есть ряд весьма существенных нюансов, которые следует иметь в виду. Чтобы лучше понять дальнейшее изложение, возможно, стоит познакомиться с разделом Вероятность данной энциклопедии.

Нюансы, о которых идет речь, заключаются в следующем. Дело в том, что в ставках на спорт невозможно найти события, истинная вероятность которых одна и та же и/или просто известна. Более того, спортивных событий имеющих одну и ту же истинную вероятность не существует в природе. Определить истинную вероятность исхода спортивного (политического) события также не представляется возможным, хотя объективно она имеет определенную величину - см. раздел Вероятность.. Биномиальное распределение наиболее часто применяют для оценки результатов игроков или систем. О том, как это делается рассказано в разделе Оценка результатов игрока. Биномиальное распределение может применяться при определении оптимальной финансовой стратегии.

При больших N биномиальное распределение с хорошей точностью описывается нормальным распределением, у которого математическое ожидание и дисперсия численно равны математическому ожиданию и дисперсии аппроксимируемого биномиального распределения.

Поскольку вероятности исходов событий сами определяются с некоторой погрешностью, и поэтому являются случайными, то общее распределение будет Рандомизацией биномиального распределения распределением 'ошибок измерения'.

Далее мы приводим основные факты по биномиальному распределению.

Математическое ожидание = N*P

Дисперсия = N*P*(1-P)

При больших N и маленьких P (N*P = L = const) хорошим приближением для биномиального распределения может служить распределение Пуассона, еще одно замечательное распределение, имеющее непосредственное отношение к ставкам на спорт (смотри соответствующий раздел энциклопедии).

БИРЖА СТАВОК

Биржа ставок это место, где один игрок может предложить пари (ставку) другому игроку, тем самым, выступая в роли букмекерской конторы. 'Один игрок', кстати, может быть, в том числе, и самой что ни на есть букмекерской конторой, которая может использовать биржу как альтернативную, дополнительную к своей основной, площадку.

В букмекерской конторе игрок делает ставку ЗА исход события. То есть, что исход случится, например, что выиграет команда А. Букмекер, принимая ставку игрока, в этот момент тоже делает ставку, но ПРОТИВ команды А. При этом правда именно Вы отдаете деньги вперед и именно букмекеру, а не он Вам. Хотя ведь он, так же как и Вы, может проиграть. Букмекер лишь гарантирует (до определенной степени) что выплатит Вам выигранные деньги. На бирже ставок любой игрок может сделать 'букмекерскую' ставку LAY, то есть ставку ПРОТИВ исхода. Тем самым он дает возможность Вам (предлагает) сделать ставку ЗА исход. Делая ставку LAY (ПРОТИВ), первый игрок сообщает другим игрокам, ставку с каким коэффициентом и какой суммой он готов принять. При этом оба игрока, и первый который сделал 'букмекерское' предложение - ставку LAY и второй игрок, который сделал ставку BACK, резервируют необходимые для ставки суммы (то есть отдают деньги) на бирже. Бирже, которая выступает посредником, в роли и оператора и гаранта сделки. После расчета ставки по завершившемуся событию биржа удерживает Комиссию с выигравшего игрока, которая обычно находится в диапазоне от 1% до 5%.. Это, естественно, нужно учитывать как при расчетах арбитражных ситуаций (вилок), так и при определении ставок с Перевесом. В отличие от биржи в букмекерской конторе Вы можете лишь поставить ставку ЗА исход события, из списка событий имеющихся в линии конторы.

Выше был приведен сценарий, по которому один игрок сначала делает ставку LAY, которую принимает другой игрой, делая ставку BACK. На самом деле ситуация в этом отношении абсолютно симметрична. Сначала игрок может сделать ставку BACK (за исход), которая будет принята другим игроком с помощью ставки LAY (против исхода). Несимметрия заключается в том, как представлены коэффициенты BACK и LAY. Коэффициент BACK это обычный коэффициент, то есть коэффициент со стороны игрока, делающего обычную ставку. Он отражает то, сколько игрок получит, если выиграет ставку. Коэффициент LAY, отражает то, сколько получит не сам игрок, а другой игрок, тот, кто закрыл это пари, сделав ставку BACK. При этом сумма, которую получит игрок LAY, равна сумме ставки, которую он предлагает. Однако, его обязательства, то есть та сумма, которую он резервирует на бирже под эту сделку, естественно не равна этой его формальной ставке и зависит от коэффициента.

Для пересчета коэффициентов LAY в привычный формат принимающего ставку игрока (BACK ставка) можно использовать формулу:

K_BACK = 1+1/(K_LAY - 1)

Например, коэффициент LAY 1 = 1.5 означает, что, выступая в роли букмекера, Вы предлагаете другому игроку поставить на победу команды 1 по коэффициенту 1.5. Для Вашего возможного оппонента это будет BACK коэффициент, а для Вас (делающего ставку LAY) это будет LAY коэффициент. То есть, рискнув 100 рублями, Ваш оппонент получит 150 рублей, если выиграет команда 1. Из этих 150 рублей 50 рублей это Ваши кровные проигранные деньги.

Но для игроков, даже выступающих в роли букмекера (LAY ставка), иногда требуется видеть и оперировать коэффициентами в BACK формате, то есть коэффициентами ЗА исход. Тем более это необходимо при поиске вилок - в сложных типах вилок все коэффициенты легче приводить к одному виду и использовать арбитражные формулы, в которых используются только BACK коэффициенты. Пересчитаем LAY 1 в BACK 2. В примере Вы рискуете 50 рублями, чтобы получить 100 рублей (то, что поставил игрок за исход 1), в случае, если команда 1 не выиграет. То есть в случае проигрыша первой команды (или ничьей - если три исхода). Вы получите всего вместе 150 (вместе с вашими собственными 50 рублями которыми Вы рискнули). Ваш коэффициент выплаты как игрока равен 1+1/(1.5-1) = 3.

Проделаем все то же самое символически, чтобы вывести формулу приведенную выше. Рискнув суммой V, Ваш оппонент получит сумму K_LAY*V. Из них, (K_LAY-1)*V это деньги, которые Вы проиграете, если ставка оппонента проходит. В противном случае Вы выиграете (чистыми) деньги, которые поставил Ваш оппонент, V, а в 'сумме' с деньгами, которыми Вы рискнули, это будет (K_LAY- 1)*V + V = K_LAY*V. При этом Вы рискнули суммой (K_LAY - 1)*V. Значит для Вас K_BACK = K_LAY/(K_LAY - 1) = 1+1/(K_LAY - 1)

Для игрока развитые биржи типа BetFair представляют собой весьма ценное приобретение, так как избавлены от многих неприятных особенностей букмекерских контор. У любого серьезного игрока, играющего в букмекерских конторах, рано или поздно встает проблема лимитов ставок. Конторы режут их по поводу или при подозрении и даже без него. Не все, но большинство. На бирже лимиты не зависят от желания контор, а определяются рыночной ситуацией и активностью клиентов биржи, которая бывает весьма и весьма высока. Коэффициенты на исходы спортивных событий на бирже, как правило, больше, чем на те же события в букмекерских конторах. Правда это в определенной степени нивелируется наличием на биржах комиссии до 5%.

Для букмекерских контор биржи с одной стороны представляют весьма серьезных конкурентов. Настолько серьезных, что они объединили свои усилия в борьбе с самой популярной и успешной мировой биржей ставок BetFair. Они используют тот факт, что биржа BetFair стала практически участником многих скандалов, связанных с договорными играми в спорте. Биржи являются удобным инструментом для реализации планов мошенников, поскольку позволяют ставить весьма крупные суммы на явных аутсайдеров, которые 'случайно' выигрывают. Иногда BetFair вынуждена даже аннулировать все ставки на сомнительное событие, вызывая гнев у законопослушных пользователей на свой страх и риск поставивших на тот же исход, что и мошенники и не получивших свой законный выигрыш.

С другой стороны букмекерские конторы активно используют биржи в своих собственных целях.

БОНУС

Сумма денег, которая дополнительно кладется игроку самой букмекерской конторой на его счет, и может быть им снята при выполнении определенных условий. Бонус дается букмекерскими конторами с целью привлечения новых игроков и/или увеличения игровой активности игроков, уже имеющих счет в данной конторе.

Бонусы бывают нескольких видов. Обычными условиями получения бонуса являются открытие счета в конторе и/или внесение оговоренной суммы на счет. Размер бонуса может быть фиксированным или исчисляться в процентах к сумме депозита.

Пример бонуса при открытии счета или первом депозите в букмекерской конторе Pinnacle Sports. Начисляется бонус в размере 10% от депозита, который должен быть не меньше $250. Сумма бонуса ограничена $500. Сумма депозита и бонус должны быть на счету не менее 30 дней. Сумму бонуса и сумму первоначального депозита нужно проставить не меньше 3 раз. При этом под суммой ставки, которая суммируется в трехкратном обороте для получения бонуса, имеется в виду либо реальная сумма ставки, если коэффициент больше или равен 2, либо сумма потенциального выигрыша, если коэффициент меньше 2. Например, если Вы ставите $100 по коэффициенту 1.6, то есть Ваша потенциальная прибыль будет $60, тогда именно $60, а не $100 будет суммироваться в бонусном обороте. Это означает, что если Вы ставите по коэффициенту не больше 1.5, то должны 'провернуть' бонус и депозит не меньше 6 раз. Маленький нюанс - депозит должен быть сделан только с использованием банковского перевода, Cashier Cheque, Credit/Debit Card, INSTADEBIT, myCitadel, Moneybookers, Moneybookers Direct Deposit, NETELLER, NETELLER (1-PAY) или Western Union, то есть WebMoney туда не входит. Некоторые конторы не дают бонусы и на депозиты, сделанные с использованием Moneybookers.

Как вариант условий получения бонуса контора может установить минимальный коэффициент, по которому нужно сделать ставки для получения бонуса. В этих случаях в обороте учитывается обычно размер самой ставки, а не выигрыша.

Опять же для новых игроков некоторые конторы предлагают 'мини' бонусы - free bet, то есть бесплатная ставка. Например, Вы открываете счет, делаете ставку с коэффициентом 2 или более и получаете возможность сделать еще одну ставку такого же размера, но не более какой-то предельной суммы, например $25. Как более жесткий вариант этого бонуса Вам могут предложить провернуть хотя бы один раз Ваш первый депозит (правда кто мешает сделать первый депозит небольшим), а так же провернуть полученный на фрибете выигрыш 2 раза. При этом иногда играть free bet можно только на событиях из специального списка. Это все подварианты условий free bet.

Бывают бонусы и для игроков, которые уже какое-то время играют в конторе. Вот пример такого бонуса. Это одноразовый бонус на экспресс, который, впрочем, может периодически повторяться. Вы должны сделать экспресс не менее чем из пяти событий с общим коэффициентом не менее 1.2 При проигрыше экспресса Вы получаете небольшой возврат в процентах от Вашей ставки. Смотри таблицу ниже. Бонусную сумму нужно проставить не меньше 5 раз по коэффициенту не ниже 1.5.

Еще пара редких бонусов.

Ежемесячный бонус на оборот. В обороте учитываются все ставки кроме ординаров. При обороте от 500 евро и более процент бонуса от 4% до 1.2% в зависимости от суммы оборота.

Бонус на ставки на точный счет. Если Вы поставили на точный и счет, и ставка проиграла, а игра закончилась со счетом 0:0, то сумма проигранной ставки Вам возвращается.

С чисто формальной, теоретической точки зрения требования контор проворачивать бонус на ставках с коэффициентами K не меньшими чем, скажем, 1.6, непонятно. Ведь одна из главных целей проворачивания бонусов состоит в том, чтобы игрок как можно больше проиграл, делая ставки из суммы бонуса. Но при реализации этой цели не важно, по какому коэффициенту игроки отыгрывают бонус. Поскольку величина проигрыша зависит не от коэффициента, а от реального перевеса контора на тех исходах, которые будет ставить игрок. Вряд ли можно утверждать однозначно, что на больших коэффициентах конторы имеют больший перевес. Тогда в чем же дело? Игроки обычно не делают больших ставок на аутсайдеров или небольших фаворитов. Поэтому, фиксируя нижнюю границу коэффициента для отыгрывания бонуса, конторы увеличивают количество ставок, то есть игровую активность игроков.

Практически всегда в правилах получения бонуса указано, что игроку нельзя пользоваться игровыми стратегиями. Имеются в виду, по видимому, догоны, арбитражи и т.п.

В заключение рассмотрим простую математическую модель бонуса. Пусть условия бонуса следующие. Мы должны сделать депозит D, при котором мы получим бонус B. И депозит и бонус нужно 'провернуть' N раз с коэффициентом не меньше чем K. Сам коэффициент нам не важен, но важна реальна маржа конторы по тем исходам, ставки на которые мы будем делать. Допустим что она равна M. Тогда мы должны сделать ставок на сумму N*(B+D). При этом мы проиграем сумму N*(B+D)*M. На руках от бонуса у нас останется B-N*(B+D)*M. Мы 'инвестировали' сумму D. Прибыль в процентах от этой операции будет (B-N*(B+D)*M*100)/D. Пусть D=100, B=25, M=5%, N=3, тогда ROI от получения бонуса будет (25-3*125/20)*100/100 = 6.25%

Этими примерами все многообразие бонусов конечно не исчерпывается. Существует специальные сайты, где отслеживаются текущие бонусы букмекерских контор. Имеется также соответствующий тип игрока в букмекерских конторах - Bonus Hunter, Бонус Хантер - охотник за бонусами. С помощью определенных нехитрых приемов они пытаются отыгрывать бонусы с минимальными потерями, в чем и заключается их основная работа. Впрочем, и для обычного игрока бонусы тоже могут быть не лишними.

БОТ

Программа для мониторинга линий и автоматического проставления ставок на биржах ставок. Биржи BetFair и BetDaq имеют интерфейс прикладного программирования (API - application programming interface) для доступа к возможностям биржи. Это позволяет писать программы для оперативного мониторинга линий и автоматического проставления ставок в соответствии с заданными стратегиями. Многие из предложений на бирже ставок BetFair делаются ботами, реализующими стратегии, связанные с движением линий (тренд) на тех или иных рынках.

Существуют боты для проставления ставок и в букмекерских конторах, например, Pinnacle Sports, Expekt и др. Но в виду отсутствия программного интерфейса, API, эти боты требуют большей поддержки, чем боты, работающие на BetFair и BetDaq..

ВАЛУЙ

Ставка с перевесом. Смотри раздел Перевес.

ВАЛУЙЩИК

Игрок, использующий для выбора ставок процедуру value betting. Смотри раздел Перевес.

ВЕРНЯК

Исход спортивного события, вероятность которого близка к единице. Делая ставки на верняки, Вы будете выигрывать ставку очень часто. Будет ли у Вас при этом положительный баланс при долгосрочной игре, то есть, будете ли Вы выигрывать или проигрывать деньги, делая ставки на верняки? Поскольку вероятность исхода верняка очень высока, то коэффициент выигрыша по данному исходу будет весьма низким, что, впрочем, само по себе ничего не значит. Ставки на больших фаворитов часто не очень неприятны с психологической точки зрения. Поскольку приходится рисковать большой суммой для выигрыша маленькой. А ведь фавориты иногда проигрывают, так как часто коэффициент выплаты показывает не реальную силу команды, а в большей степени предпочтения публики. Тем более, что иногда от победы до ничьей полшага, а коэффициент выплаты на победу уж очень низкий. Кроме того, Перевес игрока при низком коэффициенте ограничен разницей между коэффициентом и 1. Например, при коэффициенте букмекерской конторы равном 1.03 Ваш Перевес над конторой не может быть больше 3% теоретически, не говоря уж о практике.

Возможность получения игроком прибыли на верняках определяется, как всегда, наличием или отсутствием у него перевеса (в среднем) на данных ставках. Перевес определяется значением выражения K*P-1 между коэффициентом букмекерской конторы и истинной вероятностью исхода. При низких коэффициентах существенным становится фактор ограничения Перевеса. Например, при ставках по коэффициенту 1.03 Ваш Перевес даже теоретически не может быть больше 3%. Означает это, что если Ваш средне-взвешенный Перевес, то есть ROI, больше 5%, то Вам не имеет смысла ставить по коэффициентам ниже 1.05? Конечно нет, ставки нужно делать если есть Перевес (точнее, если Вы считаете, что есть Перевес) и есть свободная сумма, которую не нужно делить с другой ставкой (банк не весь в игре).

Истинную вероятность не знает никто, но всегда можно попытаться ее как-то оценить. И конторе это приходится делать в любом случае, возможно корректируя эту оценку истинной вероятности по ходу появления новой информации. Имея оценку реальной вероятности, контора вычисляет коэффициент соответствующий истинной вероятности и уменьшает его на некоторую величину. Процесс выработки линии может происходить как-то по другому, но в любом случае этот процесс можно описать в терминах вероятностей, даже если она реально не используются. При этом важно не абсолютное и даже не относительное уменьшение коэффициента, который дает контора по сравнению со 'справедливым' коэффициентом. Важным является перевес, но в данном случае это перевес конторы над игроком, который выражается точно такой же формулой, но со знаком минус

W = 1-K*P > 0

Этот перевес обычно называют маржей букмекерской конторы по данному исходу. При этом если в этой формуле в качестве P стоит истинная вероятность, то будем называть W истинной маржей. Если в ней стоит текущая оценка истинной вероятности, то будем называть ее оценочной маржей. Если считать что контора в среднем достаточно точно оценивает истинную вероятность исхода, то тогда оценочная маржа в среднем будет близка к истинной марже. И тогда основная проблема верняков может быть сформулирована следующим образом. Каково соотношение между маржей на верняк и маржей на противоположный исход?

Существует два основных мнения на этот счет, с несколькими подвариантами.

Первое мнение.

Большая часть маржи конторы в случае спортивного состязания с участием большого фаворита падает именно на коэффициент на его победу, на верняк. То есть коэффициент на верняк значительно занижен. Обоснование следующее. Когда большой фаворит играет со слабым противником большинство игроков (непрофессиональных) считает, что фаворит порвет аутсайдера как 'тузик грелку' и будут ставить на победу крупного фаворита, не обращая внимания на коэффициент выигрыша. Это особенно справедливо для событий, которые широко освещаются в СМИ, привлекают много публики и соответственно, много случайных, непрофессиональных игроков. Предполагая такое отношение публики к игре, букмекерская контора захочет уменьшить коэффициент на верняк и может переложить на него большую часть своей оценочной маржи.

Но, при больших вероятностях победы команды и соответствующих малых коэффициентах реальную вероятность исходов оценить еще труднее, чем в при более равных шансах, поэтому коэффициент на фаворита реально может быть, как завышен, так и занижен.

Второе мнение.

Согласно этому мнению маржа букмекерской конторы на верняк минимальна или даже контора не имеет перевеса на нем, а наоборот, перевес имеет игрок. Обоснование следующее. Если контора занижает коэффициент на верняк, то для сохранения общей маржи (которая должна оставаться на приемлемом для игроков уровне) ей необходимо увеличивать коэффициент на аутсайдера. Если событие не очень популярно среди публики, то оно может являться предметом пристального внимания продвинутых игроков и их ставки могут составить значительную часть загруза. Или это событие может попасть на вилку и подвергнуться 'атаке' со стороны вилочников, которые делают ставки массово и приличными суммами. В этом случае более важной задачей конторы может стать недопущение перевеса игроков по ставке на аутсайдера. А это приводит к уменьшению коэффициента на аутсайдера, увеличению коэффициента на верняк и увеличению вероятности получения перевеса именно на верняке.

ВЕРОЯТНОСТЬ

Существует несколько определений вероятности. Начнем с того, что вероятность события это мера его случайности. Это не определение. Сказано лишь то, что вероятность это количественное свойство (мера) случайных событий. Случайным событием называют обычно событие, которое может произойти при данных условиях, а может и не произойти (при точно таких же условиях).

Классическое определение вероятности применимо к простым случаям, когда испытание может приводить к конечному числу равновозможных элементарных исходов. Например, выпадение орла или решки, при бросании симметричной монеты. Или бросание сбалансированного кубика. В этом случае вероятностью события называют отношение числа благоприятствующих событию исходов к общему числу исходов.

В случае бесконечного числа возможных исходов или когда нельзя сделать вывод о равновозможности элементарных исходов пользуются статистическим определением вероятности. За вероятность события принимают относительную частоту события при достаточно большом количестве испытаний (проводящихся при одних и тех же условиях), или число близкое к ней. Понятно, что это нестрогое определение вероятности, требующее к тому же проведения реальных (или мысленных, возможно компьютерных) экспериментов.

Но самое главное, что эти два определения неприменимы к ставкам на спорт. В ставках на спорт невозможно выделить равновероятные элементарные или неэлементарные исходы. Также невозможно создать одинаковые условия испытаний (спортивных событий).

Существует третье, аксиоматическое определение вероятности. В этом случае вероятность определяется как математический объект с определенными свойствами. А все вопросы, связанные с применением его на практике выносятся за рамки этого определения.

В ставках на спорт можно просто постулировать, что исход спортивного события имеет некоторую вероятность. Это не простая игра слов, а имеет вполне определенный, и не совсем тривиальный смысл. Проведем мысленный эксперимент. Допустим, что мы можем повторять одну и ту же игру при условиях воссозданных с любой точностью, но конечной. Существует точка зрения, согласно которой, создавая те же условия игры в нашем эксперименте с какой-то большой, но конечной точностью, мы сможем делать так, что результат игры будет повторяться. В этом случае у самого исхода нет вероятности, так как он неслучаен. Просто мы его не знаем, и не имеем физических возможностей вычислить этот неслучайный результат. В этом случае 'случайность' это мера неопределенности наших знаний об условиях спортивного события.

Согласно другой точке зрения (которой придерживается и автор книги), с какой бы большой, но конечно точностью, мы не воссоздавали условия спортивного события, результат его принципиально случаен. В этом случае каждому исходу можно приписать вероятность в смысле третьего, аксиоматического определения вероятности. Уточняя условия игры, мы можем лишь сделать более определенной значение вероятности исхода, но не сам исход.

Тем не менее, это только усложняет, ситуацию математически. Так мы получаем ситуацию, при которой вероятность P некоторого события (исхода) сама является 'случайной' величиной. Вторая случайность, как и в первой точке зрения, появляется как мера неопределенности, вследствие неполного знания условий игры, и невозможности правильно интерпретировать те условия игры, которые можно зафиксировать.

Получается случайность, 'помноженная' на случайность. В теории вероятностей такая конструкция, когда параметр распределения случайной величины сам является случайной величиной с, возможно, другим распределением, называется рандомизацией. То есть, исход спортивного события имеет вероятность P, которую букмекерская контора, а также игроки пытаются определить, 'измерить'. В результате 'измерения' получается случайная ошибка. И первоначальное, истинно случайное, распределение рандомизируется вторым распределением, которое является следствием неопределенности в условиях игры.

Оно может быть также следствием неопределенности и неадекватности процедур интерпретации условий игры, даже если сами они измерены достаточно точно. Например, имея на руках одну и ту же предматчевую информацию о командах, разные эксперты могут дать разные оценки вероятности исходов. Предматчевая информация в данном случае используется как нулевое, грубое, приближение для 'условий игры', которые интерпретируется с помощью алгоритма оценки вероятностей. Существует и более тонкие и менее формальные процедуры для уточнения оценок вероятностей исходов.

Букмекерские конторы оперируют коэффициентами выплат. Существует простая формула, которая связывает коэффициент выплаты и вероятность исхода: K = 1/P. В связи с этим встает несколько вопросов. Что это за коэффициент выплаты K и вероятность P, которые присутствуют в этой формуле? Какое отношение имеют они к коэффициентам выплаты букмекерских контор и вероятностям исходов спортивных событий? Некоторые достаточно опытные игроки, на практике познав всю сложность отношений между коэффициентами букмекерских контор и вероятностями исходов, вообще отрицают какую-либо связь, например, между коэффициентом выплаты на исход в реальной букмекерской конторе и вероятностью исхода. А заодно и способность теории вероятностей и/или математической статистики способствовать успешной игре.

Как уже было сказано, можно предположить, что у каждого исхода спортивного состязания есть истинная вероятность, оценить которую очень трудно. Коэффициент выплаты соответствующий этой вероятности можно назвать fair, 'справедливым', безубыточным коэффициентом. Справедливость означает, что при таком коэффициенте ни одна из сторон участвующих в пари не будет иметь преимущества и при долгосрочной игре будет где-то более или менее в нулях. Таким образом, появляется первое соотношение между коэффициентом выплаты букмекерской конторы и/или биржи ставок и реальной вероятностью исхода. А именно, если контора или биржа дает коэффициент K на исход спортивного события, то Вы будете иметь прибыль в долгосрочной перспективе, только тогда, когда реальная вероятность P исхода события больше чем 1/K. При этом неважно дается коэффициент букмекерской конторой, которая дает 'согласованные' коэффициенты на все исходы спортивного события или биржей ставок, где коэффициенты на противоположные исходы могут выглядеть несогласованно и весьма странно. Это к выше поставленному вопросу о взаимосвязи любого реального коэффициента выплаты контор и истинной вероятности исхода. Других 'точных' отношений между этими понятиями либо не существует, либо они являются следствиями отношения приведенного выше.

Иногда говорят, что букмекерские конторы выставляют коэффициенты выплат, совсем не оценивая никаких вероятностей. Если учесть что безубыточный коэффициент и истинную вероятность события связывают простые симметричные соотношения, то вопрос о том, что первичнее (важнее) коэффициент или вероятность становится похожим на вопрос о курице и яйце. Любую процедуру, оценивающую истинные вероятности исходов, можно записать в терминах безубыточных коэффициентов, так что вероятности даже не появятся в формулах или программах. Более того, существуют и весьма широко используются методы прогнозирования, использующие Рейтинги Силы команд, которые не являются ни вероятностями, ни коэффициентами выплат. Например, согласно одной из возможных моделей разность рейтингов силы двух команд дает наиболее 'правильную' разность голов команд в предстоящей игре. После нахождения таких рейтингов силы прямо вычисляется фора - основной элемент линии гандикапа. Уточнение линии форы коэффициентами выплат также может быть сделано без употребления слова 'вероятность'. Это связано с тем, что вероятность в ставках на спорт вводится 'математическим' путем, а не 'физическим'. То есть прямо ее вычислить нельзя, а оценить можно только косвенно по результатам. Но с другой стороны во многих случаях выставляя коэффициенты будут пользоваться вероятностями определенными эмпирически, по статистике прошлых игр. Ясно, что это может быть грубым приближением к реальным вероятностям. Но возможность ошибки для букмекерской конторы во многом нивелируется большой маржой для такого рода коэффициентов.