Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция у =f (х) непрерывна на отрезке [ а, b ], то она принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Наибольшее или наименьшее значение функцииможет достигаться как и точках экстремума, так и в точках на концах отрезка.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0; 5].

Решение.

1.

2. , откуда критические точки и х ₂ = 4.

3. Значение функции в критических точках f (2)=0, и на концах отрезка f (0)=4 и . Итак, ,

Замечание. Если функция у =f (х) непрерывна на интервале (а, b), то она может не принимать на нем наибольшее и наименьшее значения. В частном случае, если дифференцируемая функция на интересе (а, b) имеет лишь одну точку максимума (ши одну точку минимума), то наибольшее (ши наименьшее) значение функции совпадает с максимумом (ши минимумом) этой функции.

Например, на интервале (1; 2) функция у=х ²– 6 х + 5 имеет один минимум , следовательно, это и есть наименьшее значение функции . Заметим, что наибольшего значения данная функция на указанном интервале не имеет.