Схема исследования функции с помощью производной

При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения графика с осями координат и, воз­можно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

 

Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения , т.е. .

2. Функция четная, так как , и ее график симметричен относительно оси ординат.

3. Вертикальные асимптоты могут пересекать ось абсцисс в точках . Так как пределы функции при (слева) и при (справа) бесконечны, т.е.

и , то прямая х = 1 естьвертикальная асимптота. В силу симметрии графика f (х) х = –1 также вертикальная асимптота.

4. Поведение функции в бесконечности. Вычислим .

В силу четности имеем также , т.е. прямая у = – 1 – горизонтальная асимптота.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

Найдем при х = 0 и не существует при

Однако критической является только точка х ₁ = 0 (так как

значения не входят в область определения функции). Поскольку при х <0 , а при х > 0 (рис. 11), то x = 0 – точка минимума и – минимум функции.

На интервалах функция убывает, на интервалах – возрастает.

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Найдем

Очевидно, что на интервале (–1, 1) и функция выпукла вниз на этом интервале. на интервале , и на этих интервалах функция выпукла вверх. Точек перегиба нет.

7. Точки пересечения с осями.

f (0) = 1, т.е. точка пересечения с осью ординат (0, 1).

Уравнение f (х) = 0 решений не имеет, следовательно, график функции не пересекает ось абсцисс.

График функции изображен на рисунок 12.

Рисунок 12 – График функции

 

Задания для самоконтроля

 

1. Вычислить производную функции:

 

а)	и)
б)	к)
в)	л)
г)	м)
д)	н) у = (х 2+3)10
е)	о) y = sin8 x
ж)	п)
з)	р) у = ln sin x

2.

а) Дана функция . Найти

б) Дана функция . Найти

 

3. Составить уравнение касательной к графику функции , проходящей через точку х ₀=2.

4. Исследовать функцию и построить ее график.