Распределение Вейбулла путем варьирования параметров достаточно универсально охватывает широкий диапазон случаев изменения вероятностей. Оно удовлетворительно описывает наработку деталей по усталостным разрушениям, наработку до отказа подшипников и других деталей. Используется для оценки металлургического оборудования, автомобилей, подъемно-транспортных машин и других. Применяется также для оценки надежности по приработочным данным.
Распределение Вейбулла представляет собой двухпараметрическое распределение с плотностью отказов
.
Здесь b - параметр формы, a - ресурсная характеристика.
Вероятность безотказной работы .
Интенсивность отказов .
Средняя наработка .
Дисперсия .
Коэффициент вариации .
Здесь - гамма-функция (определяется по таблицам Приложения Г).
Возможности и универсальность распределения Вейбулла видны из следующих закономерностей:
- при функции и от наработки до отказа убывающие;
- при распределение превращается в экспоненциальное,
|
|
т.е. , - убывающая;
- при функция одновершинная, а функция возрастающая;
- при функция с выпуклостью вверх,
- при функция с выпуклостью вниз;
- при функция линейная и распределение Вейбулла превращается в частный случай, называемый распределением Рэлея;
- при распределение Вейбулла близко к нормальному.
Графическая интерпретация распределения Вейбулла дана на рис. 1.10.
Рисунок 1.10 – Распределение Вейбулла:
а – вероятность безотказной работы, б – плотность вероятности отказа,
в – интенсивность отказов.
Надежность системы, состоящей из последовательно соединенных одинаковых элементов, подчиняющихся распределению Вейбулла, также подчиняется распределению Вейбулла.
Пример 1.11. Наработка питателя барабанной мельницы имеет распределение Вейбулла с параметрами a = 60 суток и b = 1,9. Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке Т = 40 суток и определить величину средней наработки на отказ.
Решение.
Подставляя исходные данные в приведенные выше формулы, получим
· вероятность безотказной работы
· интенсивность отказов
· средняя наработка на отказ
Здесь Г(1+1/1,9) = Г(1,526) = 0,887 – табличное значение гамма-функции (Приложение Г).