Интенсивность отказов

Допустим на интервале [0, t ] отказ не произошел, и нужно определить вероятность отказа в последующую единицу времени D t (рис. 2.2). Тогда вероятность события С запишется следующим образом (приложение А)

, или .

Вероятность отказа в промежутке [ t ₁, t ₂] можно выразить через вероятность безотказной работы

Рисунок 2.2 – Схема к определению вероятности появления события С:

А – событие, в котором на интервале [0, t ₁] не произошло отказа;

В – событие, в котором на интервале [ t ₁, t ₂] произошел отказ;

С – событие, в котором на интервале [0, t ₁] не произошло отказа, а на интервале [ t ₁, t ₂] произошел отказ;

Тогда вероятность того, что в этом интервале произойдет отказ за единицу времени D t = () при условии, что отказа не было до момента времени t₁, будет иметь вид

.

Приняв [ t ₁, t ₂] как [ t ₁, t₁+Δt ], получим

.

Это соотношение характеризует вероятность отказов за единицу времени на интервале [ t ₁, t ₂] при условии, что до момента времени t₁ отказов не было. Оно получило название интенсивность отказов l.

Мгновенное значение интенсивности отказов определяется как предел интенсивности отказов при длине интервала, стремящейся к нулю

Мгновенное значение интенсивности отказов показывает изменение интенсивности отказов на протяжении срока службы некоторой совокупности объектов (механизмов, узлов, деталей).

Интенсивность отказов связана с вероятностью безотказной работы и плотностью вероятности отказов соотношениями

, .

Интенсивность отказов, рассматриваемая на каком-то промежутке времени, называется накопленной интенсивностью отказов и связана с мгновенным значением интенсивности отказов и вероятностью безотказной работы соотношениям.

;

Функция λ(t) может быть определена по результатам испытаний. Предположим, что испытаниям подвергают N элементов. Пусть n (t) — число элементов, не отказавших к моменту t. Тогда при достаточно малом Δ t и достаточно большом N получим

λ(t) = Δ n /[Δ t n (t)],

где Δ n — число отказов на участке Δ t.

Статистическая интенсивность отказовλ(t) равна отношению числа отказов, происшедших в единицу времени, к общему числу не отказавших элементов к этому моменту времени.

Многочисленные опытные данные показывают, что для многих элементов функция λ(t) имеет корытообразный вид (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 – Изменение интенсивности отказов за период службы изделия.

Из анализа графика следует, что время испытания можно условно разбить на три периода. В первом из них функция λ(t) имеет повышенные значения. Это период приработки или период ранних отказов для скрытых дефектов. Для начального периода [0, t ₁] характерны отказы вследствие дефектов материалов, конструкторских недоработок, дефектов изготовления. Этот отрезок кривой получил название период “детской смертности”

Второй отрезок кривой [ t ₁, t ₂] называют периодом нормальной работы; он отображает случайные внезапные отказы, вызванные неожиданным увеличением нагрузки, предельно тяжелыми условиями работы и т.д. Для этого периода характерна постоянная интенсивность отказов.

Отрезок кривой после t₂ характеризует старение объекта, что является следствием, как правило, проявлением отказов, вызванных износом.

Иными словами интенсивность отказов характеризует изменения качества изделия в процессе эксплуатации.

Так как период нормальной работы является основным, то в расчетах надежности принимается λ(t)=λ=const. В этом случае при экспоненциальном законе распределения функция надежности имеет вид (см. п. 1.4):

Р (t) = exp(- λ t).

Среднее время жизни соответственно равно: T ₀ = 1/λ. Поэтому функцию надежности можно записать и так:

Р (t) = еxp(- t / T ₀).

Если время работы элемента мало по сравнению со средним временем жизни, то можно использовать приближенную формулу

Р (t) ≈ 1 – t / T ₀.

Пример 2.1. По данным эксплуатации шестеренной клети установлено, что наработка до отказа подчиняется экспоненциальному закону с параметром λ = 2,10^-5 1/час. Найти вероятность безотказной работы за время t = 100 часов. Определить математическое ожидание наработки до отказа.

Решение.

Вероятность безотказной работы

P (t) = exp(- λ· t) = exp(-2,10^-5·100) = 0,998.

Математическое ожидание наработки до отказа

M _Т = 1/λ = 1/(2,10^-5) = 5·10⁴ ч.

Пример 2.2. На испытания поставлено N = 200элементов, испытания проводились в течение t = 100 ч. Построить кривую интенсивности отказов по данным приведенной таблицы: Δ t — интервал испытаний; n — число отказов; (N-n) — число не отказавших элементов.