Далее приведены основные формулы векторного анализа

Выражение вектора через проекции (декартовы прямоугольные координаты):

; ;

cos ; cos ; cos .

Сумма двух векторов: ;

S_x = A_x + B_x; S_y = A_y + B_y; S_z = A_z + B_z;

Разность двух векторов: ;

R_x = A_x - B_x; R_y = A_y - B_y; R_z = A_z - B_z;

Скалярное произведение двух векторов:

А*В = АВ cos (А, В) = A_xB_x + А_yВ_y + А_zВ_z.

Векторное произведение двух векторов:

,

где 1_n—единичный вектор по нормали к плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы А и В.

Уравнение линии вектора А: ; .

Дифференциальный оператор Гамильтона — набла.

.

Сам вектор Ñ не имеет реального значения, он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со скалярными или векторными функциями.

.

Скалярное произведение Ñ на вектор E:

.

 

Векторное произведение:

.

Градиент потенциала: ,

где 1_n—единичный вектор по нормали к поверхности j = const.

Свойства вихря вектора: divrot a = 0 rot(a + b) = rot a + rot b,

rot(U a) = Urot a + gradU´ a, div a ´ b = b rot a – a rot b.

Поток вектора через поверхность S: .

Дивергенция вектора: .

Теорема Гаусса: .

Циркуляция вектора: .

Ротор вектора: .

Проекция ротора на направление n:

,

где площадка DS нормальна к направлению n.

Теорема Стокса: ,

где L—периметр поверхности S.

Лапласиан скаляра j: .

Лапласиан вектора А: .

Ротор градиента: .

Дивергенция ротора: .

 

Дивергенция произведения скаляра и вектора:

.

Дивергенция векторного произведения: div[ EH ] = H rot E - E rot H.

Ротор от ротора: rot rot A = grad div A - Ѳ A.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Запишите уравнения Максвелла для случая когда векторы Н и Е являются синусоидальными функциями времени.

2. Кто впервые доказал, что электромагнитная волна переносит энергию и импульс?

3. Чему равна разность потоков вектора Пойнтинга через поперечное сечение кабеля в его начале и в его конце?

4. Почему в уравнениях электромагнитного поля нельзя использовать скалярный потенциал электростатического поля? Как определяется скалярный потенциал электромаг­нитного поля?

5. Укажите особенности электромагнитного поля в ближней и дальней зоне электрического вибратора.