2018-01-08
1685
1.1. Понятие комплексного числа
В курсе высшей математики доказывается теорема о том, что любое уравнение имеет количество корней, равное степени уравнения. При этом квадратное уравнение 
не имеет решения из множества действительных чисел. Следовательно, возникает необходимость расширить понятие числа и ввести новое множество, которое позволит извлекать корни четной степени из отрицательных чисел.
Новое множество – это множество комплексных чисел. Обозначается: «С»
Определение: комплексным числом называется упорядоченная пара вещественных (действительных) чисел (a; b), где а – вещественная часть комплексного числа.
Любое вещественное число может быть представлено в виде: а = (а; 0) (но не (0; а)!!)
Два комплексных числа Z1 = (a; b) и Z2 = (c; d) считаются равными (Z1 = Z2), если a = c и b = d
1.2. Операции над комплексными числами
1) Сложение: 
1.1) Противоположное комплексное число: Z и –Z: 
2) Умножение: 
При умножении комплексного числа на действительное число: 
; 
для любого к.ч.
|
|
|
3) Операция деления на комплексное число, отличное от нуля, возможна. В действительности, операция деления заменяется операцией умножения на обратное число.
Т.е., если 
, то обратное комплексное число 
Как всегда произведение взаимно обратных чисел равно единице: 
Все перечисленные операции удобнее выполнять над комплексными числами, записанными в алгебраической форме. Эту форму комплексного числа введем после знакомства с числом «i» - мнимой единицей.
1.3. Число «i» - мнимая единица
Рассмотрим комплексное число 
и возведем его в квадрат:
, т.е. 
Это свойство числа i часто используется в дальнейшем. Например, уравнение 
, будет иметь корни: 
. Это два комплексных числа i и –i.
Можем решить и другое уравнение: 
.
Таким образом, получена возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел!
При помощи числа любое комплексное число 
можно записать:
1.4. Алгебраическая форма комплексного числа
Это запись комплексного числа в виде: 
Где a - вещественная часть, bi - мнимая часть комплексного числа.
Любое действительное число может быть представлено в таком виде:
и т.д.
Нулевое комплексное число (нуль): 
Для любых чисел: 
