Введение. 1. Теория функций комплексного переменного 6

Оглавление

Введение………………………………………………………………………….…..5

1. Теория функций комплексного переменного ………………………………......6

1.1. Комплексные числа и операции над ними..…………………………………...6

1.1.1. Определение комплексного числа ……………………………………..6

1.1.2. Формы записи комплексных чисел ………………………………….......8

1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ………………………….…………………………………………....9

1.2. Функции комплексного переменного………………………………………...10

1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного………………...14

1.3.1. Определение производной ………………………………………………14

1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости

функции комплексного переменного..………………………………….14

1.3.3. Производные основных элементарных функций………………………15

1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной

действительной или мнимой части……………………………………..16

1.4. Интегрирование функций комплексного переменного……………………..17

1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного…….17

1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций..20

2. Теория рядов …………………………………………………………………….23

2.1. Числовые ряды ………………………………………………………………...23

2.1.1. Основные понятия………………………………………………………..23

2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов…………...26

2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами……………………..…..30

2.2. Функциональные ряды………………………………………………………...31

2.2.1. Сходимость функционального ряда…………………………………….31

2.2.2. Степенные ряды…………………………………………………………..33

2.3. Ряды Фурье …………………………………………………………………….36

2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.

Периодические процессы………………………………………………..36

2.3.2. Сходимость ряда Фурье…………………………………………………38

2.3.3. Интеграл Фурье…………………………………………………………..41

3. Теория вероятностей ………………………….………………………………...43

3.1. Случайные события и их вероятности………………………..……………...43

3.1.1. Классификация событий…………………………...…………………….43

3.1.2. Операции над событиями……………………….…………………….....44

3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности…………………………...46

3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Независимость событий………………………………………………….51

3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса……………………….54

3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли….56

3.1.7. Статистическое определение вероятности………………………..……57

3.2. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики……58

3.2.1. Дискретные случайные величины………………………………………58

3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения…………………..59

3.2.3. Математическое ожидание случайной величины……………………...62

3.2.4 Дисперсия случайной величины…………………………………………63

3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин………………...65

3.3.Системы случайных величин……………………………………………...….67

3.3.1. Закон распределения системы случайных величин……………………67

3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора………………………70

3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей…………………………….71

4. Математическая статистика ……………………………………………………73

4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений ……………..73

4.1.1. Статистическое распределение выборки...……………………………..73

4.1.2. Эмпирическая функция распределения ………………………………..77

4.2. Оценки параметров распределения …………………………………...……..79

4.2.1. Точечные оценки параметров распределения...………………………..79

4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения………………...…..81

4.3. Проверка статистических гипотез ……………………………………...……83

4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной

зависимости (между двумя случайными величинами)……………………..90

5. Контрольная работа № 7. Задания……………………………………………...92

5.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0……………...92

5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7………………………………...97

6. Контрольная работа № 8. Задания…………………………...………………..103

6.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0………..…...103

6.2.. Варианты заданий контрольной работы № 8……………………………...109

Приложение 1…………………………………………………..………………….123

Приложение 2……………………………………………………………………...125

Приложение 3……………………………………………………………………...126

Рекомендуемая литература……………………………………………………….127

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся заочно по специальности 180103 «Судовые энергетические установки». Пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта данной специальности, утвержденного в 2000 г. и содержит те разделы курса математики, которые изучаются, в соответствии с учебной программой, в четвертом семестре. В пособии кратко изложены основные теоретические положения теории функций комплексного переменного, теории рядов, теории вероятностей и математической статистики, приведено достаточное количество примеров решения задач. После самостоятельного изучения теоретического материала и приобретения навыков решения задач студенты должны выполнить две контрольные работы. Варианты заданий контрольных работ и примеры их выполнения также приведены в пособии.

Следует отметить, что данное пособие должно рассматриваться лишь как основа для изучения, указанных выше, разделов математики. При самостоятельной работе следует обращаться и к другим источникам, перечень рекомендуемой учебной литературы приведен в конце пособия.