2018-01-08
1128
Колебательным движением называется процесс, при котором система, многократно отклоняясь от положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему.
Существует общность закономерностей большого разнообразия колебательных процессов, поэтому все они могут быть сведены к совокупности простейших колебаний – гармонических.
Гармоническим колебательным движением называется такое колебательное движение, при котором колеблющаяся величина изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Основные характеристики колебательных процессов можно рассмотреть на примере механических колебаний материальной точки.
|
|
|
, (19.1)
где А – амплитуда колебаний (абсолютное значение максимального смещения), 
– фаза колебаний, которая определяет угловое смещение точки М в любой момент времени, α0 – начальная фаза, 
– круговая (циклическая) частота, равная
|
|
|
, (19.2)
где ν – частота колебаний (число полных колебаний в единицу времени, 
, здесь 
– число колебаний за время t), 
– период колебаний (время совершения одного полного колебания). Выражение (19.1) – кинематическое уравнение гармонического колебательного движения.
Скорость 
колеблющейся материальной точки получим, продифференцировав (19.1) по времени:
. (19.3)
Продифференцировав (19.3), получим ускорение а:
. (19.4)
Учитывая (19.1), будем иметь: 
, или:
. (19.5)
Выражение (19.5) описывает гармонические колебания величины x и называется дифференциальным уравнением гармонического осциллятора. Его решением является гармоническая функция (19.1). Если вторая производная по времени какой-либо физической величины (не обязательно смещения!) пропорциональна самой величине с противоположным знаком, то данная физическая величина изменяется со временем по гармоническому закону.
Любое тело (рис. 19.2), подвешенное в поле силы тяжести так, что точка подвеса О не совпадает с центром тяжести С, называется физическим маятником. Пусть отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом φ. При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращающий момент силы 
, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Его величина М=mgl. sin j, где m – масса маятника; l – расстояние от центра тяжести маятника до точки подвеса, d=l .sin j – плечо силы тяжести (кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения).
|
|
|
Направления вращающего момента и углового перемещения 
противоположны (момент силы возвращает маятник к положению равновесия), поэтому
M=– mgl.sinj. (19.6)
По второму закону Ньютона для вращательного движения маятника:
, (19.7)
где 
– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса; e – угловое ускорение маятника, равное второй производной угла поворота: 
.
Из уравнений (19.6) и (19.7) имеем:
,
или
. (19.8)
При малых углах 
, и уравнение (19.8) будет иметь вид:
. (19.9)
Сравнивая (19.9) и (19.5), устанавливаем, что j изменяется по гармоническому закону с круговой частотой ω, причем
, (19.10)
а период колебаний маятника
. (19.11)
Если вся масса маятника сосредоточена в одной точке (например, шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити), то такой маятник называют математическим (рис.19.3). В других случаях маятник называют физическим.
Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, который имеет тот же период колебаний, что и данный физический маятник:
. (19.12)
Для математического маятника момент инерции рассчитывается как для материальной точки: 
, поэтому период его колебаний равен:
. (19.13)
В лабораторной работе используется физический маятник в виде кольца (рис.19.4) или в виде однородного тонкого стержня (рис.19.5). Момент инерции маятника относительно точки подвеса О можно найти по теореме Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной оси, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями. Для кольца получим:
. (19.14)
Здесь 
– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O, I C – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс – точку C, r – расстояние между осями. Момент инерции полого (толстостенного) цилиндра или кольца массой m с внутренним радиусом r и наружным R относительно оси, проходящей через центр масс, равен:
I C= 
m (R 2+ r 2), (19.15)
Тогда из (19.14) и (19.15) получаем:
I O= m (R 2+ r 2)+ mr 2= m (R 2+3 r 2) = 
m (D 2+3 d 2), (19.16)
где 
и 
– внешний и внутренний диаметры диска соответственно. Из формулы (19.11) выразим ускорение свободного падения с учетом, что l=r=d/2, и из (19.16) подставим момент инерции:
,
и окончательно:
. (19.17)
Для стержня по теореме Штейнера получим:
, (19.18)
|
|
|
|
|
, (19.19)
где L – длина стержня, m – его масса.
Можно показать, что для любого маятника приведенная длина lпр. больше, чем расстояние l от центра масс до точки подвеса (длины физического маятника): из (19.12) и (19.18) следует, что
.
Точка О1, лежащая на прямой ОС на расстоянии l пр.от точки подвеса маятника (рис.19.5), называется центром качания маятника. Центр качания О1 и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если маятник подвесить так, чтобы его ось качания проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними. Покажем это. По теореме Штейнера момент инерции I 1 маятника относительно оси, проходящей через точку О1, равен:
. (19.20)
Из (19.18) и (19.20) вычислим IC:
I C= I 1 – ml 12= I – ml 2. (19.21)
Из (19.12) выразим момент инерции маятника 
и запишем аналогичную формулу для I 1: 
. Здесь использовано условие, что частота колебаний маятника относительно оси, проходящей через точку О1, должна быть той же самой, что и для оси, проходящей через точку О. Подставив оба момента инерции в (19.21) получим уравнение:
|
|
|
.
Далее после преобразований:
,
и после сокращения на (l1–l):
.
Но по определению приведенной длины физического маятника (19.12):
,
то есть
l пр. = l 1+ l,
что и требовалось показать.
Для физического маятника – стержня из (19.12), (19.18) и (19.19) получим:
,
или:
. (19.22)
Экспериментальная часть
1. Математический маятник.
Примечание: выполнять только по заданию преподавателя.
Цель: определение ускорения свободного падения.
Оборудование: секундомер, математический маятник (шарик на нити на штативе).
1. Ознакомиться с установкой. Определить длину математического маятника l. Отвести маятник от положения равновесия на небольшой угол (10÷150) и отпустить. Пропустив 2-3 колебания, включить секундомер и определить время t, за которое совершится N полных колебаний (взять 50÷100 колебаний). Вычислить период колебаний маятника по формуле (19.23):
. (19.23)
2. Повторить опыт (можно установить другую длину маятника) не менее 3 раз. Вычислить значение ускорения свободного падения по формуле:
. (19.24)
3. Рассчитать погрешности измерений.
4. Все результаты занести в таблицу по форме 19.1.
Таблица 19.1.
| № опыта | l, м | Δ l, м | N | t, с | Δ t, с | T, с | Δ T i, с | g, м/с2 | Δg, м/с2 | Δg/g | Δg, м/с2 |
| Tср.= | Σ(ΔTi)2= | gср. | Σ(Δgi)2= | ||||||||
| ΔT= | Δg= |
Примечание: Среднее значение периода Тср. рассчитывается только в том случае, если длина маятника одна и та же во всех опытах. Ускорение свободного падения g рассчитать один раз, исходя из среднего значения периода. В этом случае погрешность периода рассчитывается по стандартной методике расчета погрешностей случайной величины:
, (19.25)
где n – число опытов, ΔTi=|Ti–Tср.| – абсолютная погрешность каждого опыта, tn,α – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности α=0.95
|
|
|
Далее погрешность Δg рассчитать по стандартной формуле для расчета погрешностей при косвенных измерениях:
, (19.26)
Если длина маятника в опытах была неодинаковой, ускорение свободного падения g рассчитывается в каждом опыте, затем усредняется, и его погрешность рассчитывается как при прямых измерениях случайной величины, то есть по формуле, аналогичной (19.25):
.
2, а) Физический маятник – кольцо (обруч).
Цель: определение ускорения свободного падения.
Оборудование: секундомер, физический маятник (кольцо или обруч на штативе с опорной призмой), линейка, штангенциркуль.
1. Измерить внешний D и внутренний диаметр d диска.
2. Определить при помощи секундомера время t, за которое совершится N полных колебаний (30-50). Вычислить период колебаний по формуле (19.23).
3. Повторить опыт не менее 3 раз (оптимально – 5).
4. Определить ускорение свободного падения по формуле (19.17), подставив в неё среднее значение периода колебаний.
5. Подсчитать погрешность измерений:
,
где производные
, 
, 
получены из (19.17).
6. Все результаты измерений и вычислений занести в таблицу по форме 19.2.
Форма 19.2.
| № опыта | D, м | ΔD, м | d, м | Δd, м | N | t, с | Δt, с | T, с | ΔTi, с | (ΔTi)2 | ΔT | g, м/с2 | Δg, м/с2 | Δg/g |
| Tср.= | Σ(ΔTi)2= |
2, б) Физический маятник – стержень.
Цель: определение приведенной длины физического маятника.
Оборудование: секундомер, физический маятник (стержень с опорной призмой), штатив, линейка.
1. Измерить длину стержня L.
2. Измерить l – расстояние от точки подвеса стержня до его центра.
3. Определить при помощи секундомера время t, за которое совершится N полных колебаний (30÷50). Вычислить период колебаний по формуле (19.23).
4. Повторить опыт 5 раз.
5. Рассчитать погрешность периода по формуле (19.25).
6. Определить экспериментальное значение приведенной длины физического маятника, исходя из формулы (19.12) и подставив в нее среднее значение периода колебаний:
. (19.25)
7. Рассчитать погрешность приведенной длины:
8. Найти точку качания физического маятника: вычислить l 1= l пр – l, закрепить опорную призму маятника на расстоянии l 1 от центра стержня.
9. Повторить измерения времени t 1 для N колебаний и расчеты периода T 1 и его погрешности (пункты 3-5). Результаты записать в таблицу по форме 19.3.
Форма 19.3.
| № | L, м | l, м | N | t, с | T, с | Δ T i, с | T 1, с | Δ T 1i, с | l пр., м | Δ l пр., м | l пр. теор. | Δ l пр. теор. |
| Δ L = | Δ l = | T ср.= | Σ(Δ T i)2= | T 1ср.= | Σ(Δ T 1i)2= | |||||||
| ΔT= | Δ T 1= |
10. Сравнить T 1 и T, сделать выводы.
11. По формуле (19.22) определить l пр.теор. – теоретическое значение приведенной длины, рассчитать погрешность:
,
где производные рассчитываются, исходя из (19.22):
; 
.
12. Все полученные данные записать в табл.19.3.
13. Сравнить теоретическое и экспериментальное значения l пр, сделать выводы.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение колебательного процесса.
2. Какие колебания называются гармоническими?
3. Выведите дифференциальное уравнение гармонических колебаний.
4. Что называется математическим маятником?
5. Дайте определение физического маятника.
6. Что называется угловым ускорением?
7. Дайте определение момента инерции твердого тела.
8. Что такое момент силы?
9. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
10. Получите дифференциальное уравнение колебаний физического маятника.
11. Получите формулу для круговой частоты и периода колебаний физического маятника.
12. Сформулируйте теорему Штейнера. Как в данной работе она используется?
13. Что такое приведенная длина физического маятника?
14. Как найти период и частоту колебаний математического маятника?
15. Выведите формулу (19.17).
16. Что такое точка качания? Чем она замечательна?
Используемая литература
[5] §2.8, 7.1, 7.3, 19.1, 19.2; [3] §4.1, 4.2, 4.3, 27.1, 27.2; [1] §38, 39, 49, 50, 53, 54; [6] §3.3; 3.6, 3.7, 3.8; [7] §16, 18, 140, 141, 142.
Лабораторная работа 1-20 “Определение коэффициента трения качения методом исследования колебаний наклонного маятника”
Цель работы: Определение коэффициента трения качения методом исследования колебаний наклонного маятника.
