Линейное подпространство: определение и примеры. Сумма и пересечение подпространств: определение и связь размерностей. Прямая сумма подпространств

Линейное подпространство – Подмножество V линейного пространства L называется подпространством пространства L если V само является пространством относительно операций определенных на L.

Критерии подпространства(методичка страница 91)Пусть V подпространство L

1) для любого x,y из V справедливо x+y принадлежит V

2) аналогично для умножения на скаляр a*x принадлежит V

Пример подпространства: множество V₂ геометрических векторов, лежащих в плоскости, является линейным подпространством пространства трехмерных геометрических векторов V₃.Советую поискать и другие примеры.

Сумма подпространств в — это наименьшее подпространство, содержащее все , то есть

.

Предложение 2. Пусть и — подпространства конечномерного векторного пространства . Тогда

Связь размерностей .

Пересечение подпространств – подпространство содержащее элементы которые есть в обоих подпространствах

Рассмотрим два линейных подпространства X₁ и X₂ линейного пространства X.

Если любой вектор x  X может быть единственным образом представлен в виде x = x₁ + x₂, где x₁  X₁ и x₂  X₂, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X₁ и X₂.

Прямая сумма обозначается X = X₁ + X₂.

Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.