Электромагнитные колебания

 

Вопросы:

1 Гармонические колебания в простейшем колебательном контуре.

2 Свободные затухающие электрические колебания.

3 Вынужденные электрические колебания. Резонанс.

4 Переменный ток.

Принятые обозначения:

·  − заряд.

·  − сила тока.

·  − индуктивность.

·  − электроемкость.

·  − сопротивление.

·  − амплитудные значения силы тока, заряда и напряжения на конденсаторе.

·  − полное электрическое сопротивление (импеданс).

·  − реактивное сопротивление.

·  − мощность.

·  − действующие значения тока и напряжения.

 

Основные формулы:

· Период колебаний в простейшем колебательном контуре:

.

· Энергия, частота затухающих колебаний, логарифмический декремент затухания в простейшем колебательном контуре:

.

· Логарифмический декремент затухания и добротность контура при слабом затухании:

, .

· Критическое сопротивление:

.

· Установившиеся вынужденные колебания при последовательном включении в контур напряжения :

,

где

, .

· Индуктивное сопротивление:

.

· Емкостное сопротивление:

.

· Реактивное сопротивление:

.

· Импеданс цепи:

.

· Среднее значение мощности:

.

· Действующие значения тока и напряжения:

, .

 

Задачи

 

1 В контуре совершаются свободные затухающие колебания, при которых напряжение на конденсаторе меняется во времени по закону . Найти моменты времени, когда модуль напряжения на конденсаторе достигает амплитудных значений и максимальных (экстремальных) значений.

2 В контуре с емкостью  и индуктивностью  происходят затухающие колебания, при которых ток меняется во времени по закону . Найти напряжение на конденсаторе в зависимости от времени и в момент .

3 Найти частоту затухающих колебаний контура, показанного на рисунке 5. Емкость конденсатора . Активное сопротивление . Индуктивность катушки . Выяснить, при каком соотношении между ,  и  колебания возможны.

4 На рисунке 6 показана простейшая схема сглаживающего фильтра. На вход подают напряжение . Найти зависимость выходного напряжения от времени, а также значение величины , при котором амплитуда переменной составляющей напряжения на выходе будет в =7 раз меньше постоянной составляющей, если =314 рад/с.

5 Найти добротность колебательного контура, в который последовательно включен источник переменной ЭДС, если при резонансе напряжение на конденсаторе в  раз превышает напряжение на источнике.

6 Колебательный контур состоит из катушки индуктивности =0,2 Гн и конденсатора емкостью Ф. Конденсатор в начальный момент зарядили до напряжения =4 В. Какими будут ток, напряжение и заряд в моменты времени, когда отношение энергии электрического и магнитного поля равны 0 и 1/2?

7 Определить силу тока в соленоиде с индуктивностью =0,6 Гн и сопротивлением =4 Ом, если к нему приложено переменное напряжение , причем =60 В, а частота =20 Гц. При каком значении  мощности, выделяемые в цепи постоянного и переменного тока, будут равны?

8 Небольшой шарик массы =21 г, подвешенный на нерастяжимой изолирующей нити на высоте =12 см от большой горизонтальной проводящей плоскости, совершает малые колебания. После того, как ему сообщили некоторый заряд, период колебаний изменился в =2 раза. Найти этот заряд.

9 Катушка индуктивностью =0,1 Гн с активным сопротивлением =25 Ом включена в сеть переменного тока с частотой =50 Гц. Определить силу тока в катушке, если напряжение на ее вводах =120 В.

10 В колебательном контуре, показанном на рисунке 7, индуктивность катушки , а емкости конденсаторов  и . Конденсаторы зарядили до напряжения  и замкнули ключ К. Найти: а) период собственных колебаний; б) амплитудное значение тока через катушку.

11 Электрическая цепь, показанная на рисунке 8, имеет пренебрежимо малое активное сопротивление. Левый конденсатор зарядили до напряжения  и затем – в момент  − замкнули ключ К. Найти зависимость от времени  напряжений на левом и правом конденсаторах.

12 Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах  и  равны между собой. Найти частоту, при которой амплитуда смещения максимальна.

13 Колебательный контур имеет емкость , индуктивность  и активное сопротивление . Через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в  раз?

14 В контуре, добротность которого  и частота колебаний , возбуждаются затухающие колебания. Через сколько времени энергия, запасенная в контуре уменьшится в  раза?

15 Контур состоит из последовательно соединенных конденсатора емкости  и катушки с индуктивностью  и активным сопротивлением . Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока. (3.128)

16 Некоторый колебательный контур содержит соединенные последовательно конденсатор емкости , катушку с индуктивностью  и активным сопротивлением , а также ключ. При разомкнутом ключе конденсатор зарядили, после чего ключ замкнули, и начались колебания. Найти отношение напряжения на конденсаторе к его амплитудному значению в момент непосредственно после замыкания ключа.

17 Какую среднюю мощность должен потреблять колебательный контур с активным сопротивлением , чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания с амплитудой тока ?

18 Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью  уменьшиться в  раза, если частота колебаний .

19 Конденсатор емкости , пространство между обкладками которого заполнено слабо проводящей средой с активным сопротивлением , подключили к источнику напряжения  в момент времени . Найти установившийся ток в цепи как функцию времени .

20 Цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора емкостью  и сопротивления , подключили к источнику напряжения  в момент времени . Найти установившийся ток в цепи как функцию времени .

21 Катушку с активным сопротивлением  и индуктивностью  подключили к источнику напряжения  в момент времени . Найти установившийся ток в катушке как функцию времени .

 

Ответы

 

1. ; , где = 0,1,2,3,…. 2. , ; . 3. ; . 4. а) , где , ; б) . 5. . 6. 0,04 А; 0 В;0 Кл;-0,0324 А; -2,35 В; Кл. 7. А; В. 8. 2 мкКл. 9. 3 А. 10. , . 11. ,  12.  13.  14.  15. . 16. . 17. . 18. . 19. , где  и . 20. , . 21. , .

 

Механические волны

 

Вопросы:

1 Векторные и скалярные волны.

2 Стоячие волны.

3 Волновое уравнение.

4 Фазовая и групповая скорости.

5 Поперечные волны в упругой среде.

6 Энергия и плотность энергии волны.

 

Принятые обозначения:

·  − некоторая величина, совершающая колебания при распространении волны, например, смещение, давление и т.д.

·  − амплитуда волны.

·  − волновое число.

·  − скорость волны.

·  − объемная плотность энергии волны.

·  − длина волны.

·  − групповая скорость.

·  − объемная плотность среды.

·  − модуль Юнга.

·  − механическое напряжение.

·  − вектор Умова.

 

Основные формулы:

· Уравнение плоской волны:

.

· Волновое число:

.

· Волновое уравнение:

.

· Фазовая скорость волны:

.

· Групповая скорость волны:

.

· Фазовая скорость продольных волн в упругой среде:

.

· Фазовая скорость поперечных волн в струне:

.

· Частоты возможных колебаний струны:

,

где  − сила натяжения струны,  − площадь поперечного сечения струны,  − длина струны.

· Скорость звука в газе:

,

где  − показатель адиабаты газа,  − молярная масса газа,  − абсолютная температура,  − универсальная газовая постоянная.

· Объемная плотность энергии упругой волны:

, .

· Плотность потока энергии (вектор Умова) для бегущей гармонической волны:

, .

· Уравнение стоячей гармонической волны:

.

 

Задачи

1 Какую длину должна иметь стальная струна ( =7700 кг/м ³) радиусом 0,05 см, чтобы при натяжении 500 Н она издавала тон частотой 320 Гц?

2 Найти частоту основного тона струны, натянутой силой Н. Длина струны − 0,8 м, а ее масса − 0,3 кг.

3 Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура равен 1,2 с. амплитуда – 2 см. Определить: длину волны; фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, отстоящей на расстоянии 45 м от источника волн с момент с; разность фаз двух точек, лежащих на луче на расстоянии 20 и 30 м от источника волн.

4 На расстоянии 4 м от источника плоской волны частотой 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояние от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны. Скорость волны 400 м/с.

5 В незатухающей бегущей волне задана точка М, отстоящая от источника колебаний на расстоянии  в направлении распространения волны. Амплитуда колебаний равна 0,05 м. Считая в начальный момент времени смещение точки Р, находящейся в источнике, максимальным, определить смещение от положения равновесия точки М для момента , а также разность фаз колеблющихся точек М и Р.

6 Медный стержень длиной 0,5 м закреплен в середине. Найти частоты возможных собственных продольных колебаний стержня. ( Н/м ², =8900 кг/м ³)

7 Медный стержень длиной 50 см закреплен на краях. Найти возможные частоты продольных собственных колебаний стержня в диапазоне частот от 20 до 50 кГц.

8 Смешение от положения равновесия некоторой точки, лежащей на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент времени  равно половине амплитуды. Найти максимальную длину бегущей волны.

9 Звуковая волна имеет частоту 500 Гц, амплитуду 0,25 мм и волновое число м ^-1. Найти скорость волны и максимальную скорость частиц среды.

10 Уравнение колебаний источника имеет вид м. Найти смещение среды на расстоянии 75 см от источника через 0,01 с после начала колебаний. Скорость волны 300 м/с.

11 От источника, расположенного у поверхности Земли, распространяются звуковые волны. Через какой промежуток времени они достигнут высоты 10 км, если температура воздуха у поверхности Земли 16 ⁰С, а градиент температуры в атмосфере К/м ( =0,029 кг/моль, =8,31 Дж/(моль К), =1,4).

12 Уравнение плоской звуковой волны имеет вид , где  − в микрометрах,  − в секундах,  в метрах. Найти:
   а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
   б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны.

13 Плоская волна с частотой  распространяется так, что некоторая фаза колебаний перемещается вдоль осей  со скоростями . Найти волновой вектор , если орты осей координат .

14 Найти отношение частот основного тона двух одинаковых струн после того, как одну из них упруго растянули на , а другую − на .

15 Как и во сколько раз изменится частота основного тона натянутой струны, если ее длину уменьшить на 35%, а силу натяжения увеличить на 70%?

16 Найти число возможных собственных колебаний столба воздуха в трубе, частоты которых меньше , если:  
   а) труба открыта с одного конца;
   б) труба открыта с обоих концов.
Длина трубы . Скорость звука . Считать, что открытые концы трубы являются пучностями смещения.

17 В точке  однородной среды находится точечный изотропный источник звука мощностью . Найти среднюю по времени энергию упругих волн в области, ограниченной сферой радиуса  с центром в точке , если скорость волн  и их затухание пренебрежимо мало.

18 Струна массы  закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с частотой  и максимальной амплитудой смещения . Найти:
   а) максимальную кинетическую энергию струны; 
   б) среднюю за период кинетическую энергию струны.

19 Стальная струна длины  и диаметра  натянута между полюсами электромагнита. При пропускании по струне переменного тока частоты  на ней установилось  полуволн. Найти силу натяжения струны.

20 Найти зависимость между групповой  и фазовой  скоростями для следующих законов дисперсии:
   а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) , где  и  − некоторые постоянные, а  − скорость света в вакууме.

 

Ответы

 

1. 0,44 м. 2. 250 Гц. 3. 18 м; 5,24 рад; 1 см; м/с; 0,274 м/с²; 3,47 рад. 4. 4 м; 3,61 м; 3,23 м; 3,81 м; 3,42 м; 3,04м. 5. 0,044 м; . 6. Гц, где   7. 22,2 кГц; 29,6 кГц; 37 кГц; 44,4 кГц. 8. 4 см. 9. 314 м/с; 0,785 м/с. 10. –3,9 м. 11. 30 с. 12. а) ; б) ; . 13. . 14. . 15.   раза. 16. а) ; б) . 17. . 18. ; . 19. . 20. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

Эффект Доплера

 Электромагнитные волны

 

Вопросы:

1 Плоская одномерная электромагнитная волна.

2 Стоячая электромагнитная волна.

3 Энергия электромагнитной волны.

4 Эффект Доплера.

Принятые обозначения:

·  − скорость света.

·  − диэлектрическая проницаемость среды.

·  − магнитная проницаемость.

·  − электрическая и магнитная постоянные.

·  − напряженность электрического и магнитного поля.

·  − индукция электрического и магнитного поля.

·  − вектор Пойнтинга.

·  − объемная плотность энергии.

·  − интенсивность волны.

Основные формулы:

· Фазовая скорость электромагнитной волны:

.

· Отношение текущих значений и амплитуд электрической и магнитной составляющей в бегущей электромагнитной волне:

.

· Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Пойнтинга):

.

· Объемная плотность энергии электромагнитного поля:

.

· Средняя объемная плотность энергии:

.

· Интенсивность волны:

.

· Эффект Доплера:

.

 

Задачи

 

1 Источник звука, частотой 400 Гц, движется со скоростью 2 м/с, удаляясь от неподвижного приемника звука и приближаясь при этом к стене. Определить частоту биений, регистрируемых приемником звука. Скорость звука − 340 м/с.

2 Источник звука с частотой 18 кГц приближается к неподвижно установленному резонатору, настроенному на акустическую волну длиной 1,7 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызывали колебания резонатора. Температура воздуха 290 К.

3 Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре дано в виде: В. Емкость конденсатора – 0,1 мкФ. Найти: период колебаний, индуктивность контура, закон изменения со временем силы тока в цепи, длину волны, соответствующую этому контуру.

4 Катушка, индуктивность которой Гн, присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин см ² и расстоянием между ними мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами, если контур резонирует на волну, длиной 750 м?

5 Плоская электромагнитная волна с частотой 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельным сопротивлением 100  и диэлектрической проницаемостью, равной 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов приводимости и смещения.

6 Электромагнитная волна с частотой =30 Мгц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью =4. Найти приращение ее длины волны.

7 В однородной и изотропной среде с =3 и =1 распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны =10 В/м. Найти амплитуду напряженности магнитного поля и фазовую скорость волны.

8 В некоторой среде распространяется электромагнитная волна частоты . Диэлектрическая проницаемость среды при этой частоте равна =2, а магнитная проницаемость практически равна единице. Найти вектор Пойнтинга в той точке, в которой электрический вектор изменяется по закону (В/м). Вектор  колеблется вдоль оси .

9 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна вдоль оси . Амплитуда напряженности магнитного поля волны =0,05 А/м. Определить: амплитуду напряженности электрического поля волны; среднюю во времени плотность энергии волны; интенсивность волны.

10 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна , где =160 В/м, =0,51 . Найти вектор  в точке с координатой х=7,7 м в момент: а) t=0; б) t=33 нс.

11 Плоская электромагнитная волна падает нормально на поверхность плоскопараллельного слоя толщины  из диэлектрика, проницаемость которого уменьшается экспоненциально от  на передней поверхности до  на задней. Найти время распространения заданной фазы волны через этот слой.

12 Локомотив, движущийся со скоростью , дает гудок длительностью . Найти длительность гудка для неподвижного наблюдателя, если локомотив: а) приближается; б) удаляется. Скорость звука в воздухе .

13 В вакууме вдоль оси  распространяются две плоские одинаково поляризованные волны, электрические составляющие которых изменяются по закону  и . Найти среднее значение плотности потока энергии.

14 В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны, одна − вдоль оси , другая − вдоль оси : , , где вектор  параллелен оси . Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости .

15 В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна , где  − орт оси , , . Найти вектор  в точке с координатой  в момент: 
   а) ; б) .

16 Тонкая катушка, имеющая вид кольца радиуса , состоит из  витков провода. Катушка находится в поле электромагнитной волны частоты , направление распространения которой и ее электрический вектор перпендикулярны оси катушки. Амплитудное значение модуля электрического вектора волны . Найти амплитудное значение ЭДС индукции в катушке.

17 Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за единицу времени. Рассеянием поля на краях конденсатора при расчете пренебречь.

18 По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток . Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление .

19 В вакууме в направлении оси  установилась стоячая электромагнитная волна с электрической составляющей . Найти магнитную составляющую волны . Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны в моменты  и , где  − период колебаний.

20 В вакууме вдоль оси  установилась стоячая электромагнитная волна с электрической составляющей . Найти -проекцию вектора Пойнтинга  и ее среднее за период колебаний значение.

 

Ответы

 

1. 4,7 Гц. 2. 35 м/с. 3. 0,2 с;10,13 мГн; ;60 км. 4. 5,96. 5. 2 . 6. –50 м. 7. 46 мА/м; м/с. 8. . 9. 18,8 В/м;1,57 нДж/м³; 0,47 Вт/м². 10. –0,3 ; 0,18 . 11. . 12. а) 4,5 с;б) 5,5 с. 13. . 14. . 15. а) ; б) . 16. 0,2 мВ. 18. . 19. , где , . 20. ; .

 

Учебное издание

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

 

Задачи для аудиторной и самостоятельной работы

Составители: Баландина Галина Юрьевна

                   Китаева Елена Алексеевна,

          Макарян Владимир Георгиевич

          Стукалина Ирина Леонидовна

 

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

443086, Самара, Московское шоссе, 34.