Теорема Лагранжа и ее следствия

Теорема (Лагранж) (о конечных приращениях). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство

f (b) – f (a) = f' (с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении).

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши, если положить φ(х) = х. В этом случае

φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1.

Подставляя эти значения в формулу , получаем или f (b) – f (a) = f' (с) (b – a).

Формула Лагранжа: приращение дифференцируемой функции на отрезке [ a, b ] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл формулы Лагранжа.

Запишем формулу Лагранжа в виде , где a < c < b. Отношение есть угловой коэффициент секущей АВ, а f' (с) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = с (рис. 2).

Рис. 2

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f (x) найдется точка С (с, f (с)), в которой касательная к графику f (x) параллельна секущей АВ.

Следствие 1. Если f' (х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f (x) постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть f' (х) = 0 для любого х є (a, b). Возьмем произвольные х ₁ и х ₂ из (a, b) и пусть х ₁ < х ₂. Тогда по теореме Лагранжа существует точка с є (a, b) такая, что f (х ₂) – f (х ₁) = f' (с) (х ₂ – х ₁). Но по условию f' (х) = 0, стало быть, f' (с) = 0, где х ₁ < с < х ₂. Поэтому имеем f (х ₂) – f (х ₁) = 0 или f (х ₂) = f (х ₁). А так как х ₁ и х ₂ – произвольные точки из (a, b), то имеем f (x) = с.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Доказательство. Пусть f' ₁(х) = f' ₂(х) при х є (a, b).

Тогда (f ₁(х) – f ₂(х)) ' = f' ₁(х) – f' ₂(х) = 0. Следовательно, согласно следствию 1, функция f ₁(х) – f ₂(х) есть постоянная, т.е. f ₁(х) – f ₂(х) = с для . Теорема доказана.

Для отрезка [ х, х + Δ х ] формула Лагранжа будет иметь вид:

f (х + Δ х) – f (х) = f' (с) Δ х.