Политропный процесс

Термодинамические процессы

Как сказано выше первый закон термодинамическим устанавливает взаимосвязь между количеством теплоты, внутренней энергией и работой. При этом, количество теплоты подводимое к телу или отводимое от тела зависит от характера процесса.

К основным термодинамическим процессам относятся: изохорный, изотермический, изобарный и адиабатный. Обобщающий процесс - политропный, в котором теплоемкость неизменна.

Для всех этих процессов устанавливается общий метод исследования, который заключается в следующем:

– выводится уравнение процесса кривой Pv и TS – диаграммах;

– устанавливается зависимость между основными параметрами рабочего тела в начале и конце процесса;

Для всех процессов идеального газа

изменение внутренней энергии:

Du = с_vм|₀^t2·t₂ - с_vм|₀^t1·t₁. или при постоянной

теплоемкости DU = m·с_v·(t₂ - t₁); (1.35)

работа:

l = P·dv; (1.36)

теплота, участвующая в процессе:

q = c_x·(t₂-t₁); (1.37)

изменение энтальпии:

Dh=(h₂–h₁)=с_pм|₀^t2·t₂–с_pм|₀^t1·t₁

или при постоянной теплоемкости Dh=с_p·(t₂–t₁). (1.38)

изменение энтропии:

Ds=c_v·ln(T₂/T₁)+R·ln(v₂/v₁)=c_pln(T₂/T₁)-R·ln(p₂/p₁)=

=c_v·ln(T₂/T₁)+c_p·ln(v₂/v₁). (1.39)

Все процессы рассматриваются как обратимые.

Политропным процессом называется процесс, в котором теплоемкость остается постоянной. Все состояния политропы, согласно первому закону термодинамики удовлетворяются условию:

q=c_ndT=du+pdv и q=c_ndT=dh-vdp.

После подстановки значений внутренней энергии и энтальпии, получим:

c_ndT=c_vdT+pdv и c_ndT=c_pdT-vdp или c_ndT-c_vdT=pdv и c_ndT-c_pdT=-vdp.

После деления уравнений друг на друга придем к выражению:

(с_n-c_p)/(с_n-с_v)=-pdv/(vdp).

Левая часть последнего выражения для конкретного процесса величина постоянная и называется показателем политропы n=(с_n-c_p)/(с_n-с_v).Разделим переменные и, после интегрирования, придем к основному уравнению политропного процесса, для которого теплоемкость процесса c_n=c_v·(n-k)/(n–1)

P·vⁿ =Const, (1.40)

где n – показатель политропы, величина постоянная для данного процесса.

Изобарный, изохорный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса (Рис.4.5):

при c_n=c_v имеем n=¥ и v= Const, (изохорный),

при c_n=c_з имеем n=0 и P = Const, (изобарный),

при c_n=¥ имеем n = 1 и T = Const, (изотермический),

при c_n=0 имеем n = k и · s= Const, (адиабатный).

Работа политропного процесса определяется по выражениям:

l =R·(T₁–T₂)/(n–1)=R·T₁·[1–(v₁/v₂)^n-1]/(n–1)=R·T₂·[1–(P₂/P₁)^(n-1)/n]/(n–1). (1.41)

Теплота процесса:

q=c_n×(T₂–T₁), (1.42)

Для изохорного процесса (рис.1.2) c_n=c_v и n=(с_v-c_p)/(с_v-с_v)= ± ¥, а основное уравнение политропы примет вид P^1/¥·v =Const или

v=Const, v₂ =v₁, P₂/P₁ = T₂/T₁. (1.43)

Так как v ₂ = v ₁, то l = 0 и уравнение 1-го закона термодинамики имеет вид: q = Du =с_v·(t₂ - t₁)

Для избарного процесса (рис.1.3) c_n=c_p и n=(с_h-c_p)/(с_h-с_v)=0, а основное уравнение политропы примет вид P·v⁰ =Const или

P = Const; P₂=P₁; v₂/v₁= =T₂/T₁; l =P(v₂-v₁); q = Du + l = с_р·(t₂ - t₁). (1.44)

Для изотермического процесса (рис.1.4) Теплота процесса: dq=c_t dT. При этом dT=0 и dq ¹0, что возможно лищь в случае c_t=¥. Тогда n=(¥-c_p)/(¥-с_v)=1 и основное уравнение

Т=Const, Т₂ = Т₁;

P₁ v₁=v₂ P₂

Так как Т₂ =Т₁, то Du = 0 и уравнение 1-го закона термодинамическим будет иметь вид:

q= l =RT·ln(v₂/v₁)=RT·ln(P₁/P₂),

где R=R_m/m – газовая постоянная [Дж/(кг·К)].

4). Адиабатный процесс (рис.1.5), проходит без теплообмена с окружающей средой и в процессе тепло не подводится и не отводится, т.е. q=0. При этом dT¹0, следовательно, с_s=0, n=(0-c_p)/(0-с_v)=c_p/с_v=k и ds=dq/T=0 или s=Const. Поэтому адиабатный процесс называют также изэнтропным.

Основное уравнение процесса

P·v^k = Const, (1.43)

где k=c_p/c_v – показатель адиабаты.

Уравнение 1-го закона термодинамическим будет иметь вид:

l = -Du = -с_v·(t₂ – t₁) = с_v·(t₁ – t₂),

Работа

l =R·(T₁–T₂)/(k-1)=R·T₁[1-(n₁/n₂)^k-1]/(k-1)=R·T₂·[1-(P₂/P₁)^(k-1)/k]/(k-1); (1.44)

Сравнительный анализ процессов, проведенный в р-v диаграмме для одинакового интервала удельных объемов v₁-v₂ (см. рисунок 1.6), показывает, что максимальная работа (площадь под линий процесса наибольшая) совершается в изобарном процессе. В диаграмме T-s изобарному процессу также соответствует наибольшая площадь под линией процесса, что соответствует наибольшему теплу процесса (см. рисунок 1.7). Примечателен политропный процесс с показателем адиабаты n=1¸k (линия 1-5 на рисунке 1.7), в котором тепло подводится, а температура при этом снижается. Это явление называют термодинамическим парадоксом. На практике с таким процессом встречаемся при работе с велосипедным насосом. Насос за счет внешней работы нагревается и отдает часть тепла в окружающую среду, т.е тепло от рабочего тела отводится, а его температура при этом растет.