Рис. 4.47.
Рис. 4.46.
Рис. 4.45.
Рис. 4.44.
Рис. 4.43.
Рис. 4.42.
Рис. 4.41.
Рис. 4.40.
Рис. 4.39.
Рис. 4.38.
Рис. 4.37.
Рис. 4.36.
Рис. 4.35.
Рис. 4.34.
Рис. 4.33.
Рис. 4.32.
Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:
Устойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:
Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:
Неустойчивый колебательный переходный процесс имеет вид:
Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:
Неустойчивый апериодический переходный процесс имеет вид:
Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:
Система, находящаяся на границе колебательной устойчивости, имеет переходный процесс:
Фазовая траектория для данного переходного процесса имеет вид:
|
|
Рассмотрев фазовые траектории для линейных систем можно сделать следующие выводы:
§ В верхних квадрантах фазовой плоскости изображающая точка движется всегда слева направо, а в нижних – справа налево. Это объясняется тем, что при переменная возрастает, а при переменная убывает.
§ В любой точке фазовой плоскости, где переменная и функция не равны нулю, фазовая траектория имеет только одно определенное направление, соответствующее значению производной в данной точке. Из этого следует, что фазовые траектории в таких точках не пересекаются.
§ Если , то , т. е. фазовые траектории пересекают ось под прямым углом, а переменная достигает своего максимума. Если при одновременно , то фазовая траектория в таких точках не имеет определенного направления, а обе производные и равны нулю. (18). Последнее означает, что изображающая точка неподвижна, а исследуемая система управления находится в состоянии равновесия. Такие точки называются особыми.
§ Если переходный процесс является сходящимся, что соответствует устойчивым система, то фазовая траектория имеет вид либо скручивающейся к началу координат спирали (для колебательного процесса), либо дуги, сходящейся к началу координат (для апериодического процесса);
§ Если система неустойчива, то фазовая траектория - раскручивающаяся спираль или расходящаяся дуга;
§ Если в системе установились колебания с постоянной амплитудой и частотой, то фазовой траекторией является эллипс, который называется предельным циклом.. По параметрам эллипса можно определить амплитуду и частоту;
|
|
§ Для всех фазовых траекторий характерны следующие особенности: в верхних квадрантах плоскости фазовые траектории имеют направление слева направо; в нижнем квадранте – справа налево
Свойства фазовых траекторий для линейных систем сохраняются и для фазовых траекторий нелинейных систем. Однако фазовые траектории нелинейных систем имеют свои особенности.
4.5.1.3. Особенности нелинейных систем:
§ В нелинейных системах, как правило, рассматривают фазовый портрет системы, т. е. совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным начальным условиям.
§ Нелинейные элементы изменяют фазовые траектории, например фазовые траектории нелинейных систем с нелинейностями типа «реле» имеют изломы в линии, называемой линией переключения
§ Если нелинейный элемент имеет зону нечувствительности, то фазовый портрет нелинейной системы имеет множество особых точек, которые определяют отрезок равновесия.
§ Режиму автоколебаний соответствует фазовый портрет, на которм фазовые траектории сходятся к предельному циклу.
§ Для систем устойчивых в малом, но неустойчивых в большом фазовый портрет имеет вид, при котором фазовые траектории, внутри предельного цикла сходятся к началу координат, а вне предельного цикла расходятся от предельного цикла. Предельный цикл в данном случае является неустойчивым.
Метод фазовых траекторий графическим методом дает наглядное изображение устойчивости систем и определения режима автоколебания.
В отличие от линейных систем в нелинейных может быть несколько режимов автоколебания, что соответствует нескольким предельным циклам. Параметры предельного цикла определяют параметры автоколебания (амплитуду и частоту). Однако метод фазовых траекторий удобен для исследования систем второго и третьего порядков, поэтому этот метод имеет ограниченное использование.
ПРИМЕР
Построить фазовый портрет для следующей системы
Где , а нелинейный элемент – реле, имеющий статическую характеристику :
Уравнение (4.12) можно переписать в виде
(4.27)
Если входной сигнал – единичное ступенчатое воздействие, то (27) принимает вид
(4.28)
Введем новые фазовые переменные:
(4.29)
Уравнение фазовых траекторий имеет вид:
(4.30)
При уравнение имеет вид:
(4.31)
При уравнение имеет вид:
(4.32)
Разрешив такие уравнения при заданных начальных условиях можно получить уравнение для фазовых траекторий:
Для
(4.33)
Для
(4.33)
Метод гармонической линеаризации является приближенным методом исследования режима автоколебаний нелинейных систем. Этим методом можно определить условия возникновения и параметры автоколебаний как в системах второго порядка, так и в более сложных системах.
Метод основан на замене существенно нелинейного элемента системы эквивалентным линейным звеном. В замкнутой автоматической системе, работающей в режиме автоколебаний. Условием эквивалентности служит равенство амплитуд и фаз выходного сигнала эквивалентного звена и первой гармоники выходного сигнала реального нелинейного элемента. При этом предполагается, что сигнал на входе нелинейного элемента является синусоидальным. Такое предположение справедливо во всех случаях, когда линейная часть системы достаточно инерционна и не пропускает высокочастотные гармоники.
Рассмотри м типовую нелинейную систему