Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение: .

Известно значение и задана доверительная вероятность (надежность) . Требуется построить доверительный интервал для параметра по выборочному среднему .

Чтобы подчеркнуть случайный характер обозначим его .

Примем без доказательства, что если случайная величина распределена нормально, то и выборочное среднее , найденное по независимым наблюдениям, также распределено нормально.

Параметры распределения таковы: ; .

Из теории вероятности известна формула для нормально распределенной случайной величины :

,

где - функция Лапласа, значение которой в точке

находим по таблице (Приложение 2).

Учитывая, что имеет нормальное распределение можно записать

или ,

где

Из последнего равенства по таблице Лапласа находим (Приложение 2).

Тогда и доверительный интервал

покрывает с надежностью математическое ожидание .

Пример 6. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим отклонением . Найти доверительный интервал оценки неизвестного математического ожидания по выборочной средней , если объем выборки , а надежность оценки .

¦ 1. Находим :

По таблице значений функции Лапласа .

2. Определяем .

Доверительный интервал запишется в виде: .?