Метрические и нормированные пространства. Скалярные произведения

Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние (метрика) между элементами (векторами) пространства, т.е. каждой паре элементов x и y поставлено в соответствие некоторое действительное вещественное неотрицательное число и указан способ, в соответствие с которым и находится это число.

Расстояние удовлетворяет следующим условиям:

1. , если

2.

3. , где – элементы (точки) пространства.

Третье условие называется неравенством треугольника. Длина стороны треугольника меньше или равна сумме длин двух других сторон.

Важным классом линейных метрических пространств является линейное нормированное пространство (ЛНП). Линейное пространство является нормированным унитарным, если для каждого элемента существует неотрицательное число , называемое его нормой, которое удовлетворяет условиям:

1. = 0, при

2. , где – скаляр.

3. .

Введение нормы позволяет сравнивать векторы по значению, т.е. норма представляет собой численную оценку (длину) вектора. Метрические линейные пространства (МЛП) называют банаховым пространством. В линейном пространстве можно аксиоматически ввести понятие скалярного произведения (двух элементов).

Скалярным произведением является число (в общем случае, комплексное), удовлетворяющее следующим условиям:

1. , где * – комплексное произведение.

2. при

3.

4.