2014-02-13
1257
Кольцо
Числовые кольца и поля
Тема 1 Математические структуры
Опорный конспект лекций
дисциплины
«Алгебра и геометрия»
для студентов 1-го курса дневной
и 2-го курса заочной
форм обучения
специальностей «информатика»,
«прикладная математика»
Составитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Кудряшов Ю. Л.
Симферополь 2010
Определение 1.1: Непустое множество чисел называется кольцом, если это множество содержит произведение, сумму и разность любых двух чисел из этого множества.
Определение 1.2: Числовым полем называется числовое кольцо, которое содержит частное любых двух чисел из этого множества, (кроме деления на 0).
Теорема 1.1: Поле рациональных чисел содержится во всяком числовом поле, (то есть поле рациональных чисел – это минимальное числовое поле).
Пусть 
– множество элементов произвольной природы. Обозначим 
– декартово произведение, то есть множество упорядоченных пар 
, 
.
Определение 1.3: Пусть каждой паре 
поставлен в соответствие один, вполне определенный, элемент из 
(то есть задано отображение: 
). Тогда говорят, что на множестве задана бинарная алгебраическая операция.
Будем операцию обозначать значком 
, где 
, то есть 
.
Определение 1.4: Множество 
называется замкнутым относительно операции , если 
выполняется: 
и 
.
Определение 1.5: Множество 
называется кольцом, если в нем определены две бинарные алгебраические операции 
и 
, удовлетворяющие следующим условиям:
1. Операции 
и 
коммутативны, то есть 
, 
.
2. Операции и ассоциативны, то есть 
, 
, 
.
3. Операции и связаны законом дистрибутивности: 
.
4. Операция имеет обратную операцию, (которую мы обозначим 
). Это означает следующее: 
такой, что 
, (
.
Все числовые кольца являются кольцами. Операции , и будем в дальнейшем называть соответственно сложением, умножением и вычитанием.
1. В кольце определено сложение и умножение любого конечного числа элементов кольца.
2. 
.
3. Закон дистрибутивности для разности, то есть 
.
4. В каждом кольце существует единственный нулевой элемент, который обозначим 0 такой, что 
, 
.
5. существует единственный противоположный элемент 
такой, что 
. Обозначается 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
, 
.
9. , 
.
10. Правила знаков: 
и 
.
Определение 1.6: Элементы 
, 
из кольца 
называются делителями нуля, если 
, 
, но 
.
