Кольцо
Числовые кольца и поля
Тема 1 Математические структуры
Опорный конспект лекций
дисциплины
«Алгебра и геометрия»
для студентов 1-го курса дневной
и 2-го курса заочной
форм обучения
специальностей «информатика»,
«прикладная математика»
Составитель: кандидат физ.-мат. наук, доцент Кудряшов Ю. Л.
Симферополь 2010
Определение 1.1: Непустое множество чисел называется кольцом, если это множество содержит произведение, сумму и разность любых двух чисел из этого множества.
Определение 1.2: Числовым полем называется числовое кольцо, которое содержит частное любых двух чисел из этого множества, (кроме деления на 0).
Теорема 1.1: Поле рациональных чисел содержится во всяком числовом поле, (то есть поле рациональных чисел – это минимальное числовое поле).
Пусть – множество элементов произвольной природы. Обозначим – декартово произведение, то есть множество упорядоченных пар , .
Определение 1.3: Пусть каждой паре поставлен в соответствие один, вполне определенный, элемент из (то есть задано отображение: ). Тогда говорят, что на множестве задана бинарная алгебраическая операция.
|
|
Будем операцию обозначать значком , где , то есть .
Определение 1.4: Множество называется замкнутым относительно операции , если выполняется: и .
Определение 1.5: Множество называется кольцом, если в нем определены две бинарные алгебраические операции и , удовлетворяющие следующим условиям:
1. Операции и коммутативны, то есть , .
2. Операции и ассоциативны, то есть , , .
3. Операции и связаны законом дистрибутивности: .
4. Операция имеет обратную операцию, (которую мы обозначим ). Это означает следующее: такой, что , (.
Все числовые кольца являются кольцами. Операции , и будем в дальнейшем называть соответственно сложением, умножением и вычитанием.
1. В кольце определено сложение и умножение любого конечного числа элементов кольца.
2. .
3. Закон дистрибутивности для разности, то есть .
4. В каждом кольце существует единственный нулевой элемент, который обозначим 0 такой, что , .
5. существует единственный противоположный элемент такой, что . Обозначается .
6. .
7. .
8. , .
9. , .
10. Правила знаков: и .
Определение 1.6: Элементы , из кольца называются делителями нуля, если , , но .