Операции преобразования

№	Наименование операции преобразования	Передаточная функция эквивалентного звена	№ рисунка с преобразованной алгоритмической схемой
	Перенос сумматора В через звено 1 назад		4.5, б
	Перестановка сумматоров А и В		4.5, в
	Замена параллельного соединения звеньев 2 и 4		4.6, а
	Замена последовательного соединения звеньев 1 и 8		4.6, б
	Замена последовательного соединения звеньев 6 и 7		4.6, в
	Замена встречно-параллельного соединения звеньев 5 и 9		4.6, г
	Замена последовательного соединения звеньев 3 и 11		4.6, д
	Замена встречно-параллельного соединения звеньев 10 и 12		4.6, е

Рис. 4.5. Алгоритмические схемы АСУ

Рис. 4.6. Алгоритмические схемы АСУ

4.3. Передаточные функции типовой одноконтурной АСУ

Под типовой одноконтурной АСУ будем понимать систему, обобщенная функциональная схема которой приведена на рис. 1.6, в. Ей соответствует обобщенная алгоритмическая схема (рис. 4.7). Объект управления характеризуется одной управляемой переменной X(p), которую требуется стабилизировать на заданном уровне X_З(p). На стабилизируемую переменную X(p) влияет возмущение X_В(p). Отклонение стабилизируемой переменной X(p), вызываемое этим возмущением компенсируется в системе целенапрвленными изменениями управляющего воздействия Y(p), которое создается регулятором (управляющим устройством). На входе регулятора с передаточной функцией W_Р(p) действует сигнал рассогласования (ошибки) e(p). Этот сигнал формируется в результате сравнения (алгебраического суммирования) задающего воздействия X_З(p) и управляемой величины X(p),

Составим передаточные функции и уравнение динамики (движения) типовой одноконтурной АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 4.7.

Рис. 4.7. Обобщенная алгоритмическая схема АСУ

Передаточная функция АСУ по задающему воздействию - передаточная функция преобразованной разомкнутой АСУ с одним звеном при возмущающем воздействии X_В(p) = 0 (рис. 4.8).

Она имеет вид

(4.10)

Рис. 4.8. Алгоритмическая схема АСУ для определения ее передаточной функции

по задающему воздействию

Передаточная функция АСУ по возмущающему воздействию - передаточная функция преобразованной разомкнутой АСУ с одним звеном при задающем воздействии X_З(p) = 0 (рис. 4.9).

Она имеет вид

(4.11)

Рис. 4.9. Алгоритмическая схема АСУ для определения ее передаточной функции

по возмущающему воздействию

Согласно принципу наложения общее изменение выходной величины X(p), возникающее при совместном действии входных воздействий X_З(p) и X_В(p), равно сумме изменений, создаваемых каждым воздействием в отдельности. Отсюда уравнение динамики АСУ в краткой записи

(4.12)

или в развернутом виде

(4.13)

4.4. Типовые алгоритмы управления в линейных АСУ

Алгоритм управления (регулирования) в АСУ устанавливает связь ошибки e(p) и управляющего воздействия Y(p),

Эта связь в типовой одноконтурной АСУ (рис. 4.7) определяется передаточной функцией регулятора

(4.14)

В линейных АСУ применяются следующие типовые алгоритмы управления (регулирования):

· пропорциональный (П) алгоритм;

· интегральный (И) алгоритм;

· пропорционально-интегральный (ПИ) алгоритм;

· пропорционально-дифференциальный (ПД) алгоритм;

· пропорционально-дифференциально-интегральный (ПИД) алгоритм;

Пропорциональный алгоритм регулирования (П-алгоритм).

Это простейший алгоритм, который реализуется при помощи безинерционного звена с передаточной функцией

(4.15)

Так как управляющее воздействие пропорционально сигналу ошибки

(4.16)

то и алгоритм получил название пропорционального, а регулятор – П-регулятора.

Преимущества П-регулятора – простота и быстродействие, недостатки – ограниченная точность (особенно при управлении объектами с большой инерционностью и запаздыванием).

Интегральный алгоритм регулирования (И-алгоритм).

Этот алгоритм реализуется при помощи интегрального звена с передаточной функцией

(4.17)

Так как управляющее воздействие пропорционально интегралу сигнала ошибки

(4.18)

то и алгоритм получил название интегрального, а регулятор И-регулятора.

При интегральном алгоритме регулирования управляющее воздействие y в каждый момент времени пропорционально интегралу от сигнала ошибки e. Поэтому И-регулятор реагирует главным образом на длительные отклонения управляемой величины x от заданного значения x_{з .} Кратковременные отклонения сглаживаются таким регулятором.

Преимущества И-регулятора – лучшая (по сравнению с П-регулятором) точность в установившихся режимах, недостатки – худшие свойства в переходных режимах (меньшее быстродействие и более высокая колебательность).

Пропорционально-интегральный алгоритм регулирования (ПИ-алгоритм).

Этот алгоритм реализуется при помощи регулятора с передаточной функцией

(4.19)

Так как управляющее воздействие пропорционально как самому сигналу ошибки, так и его интегралу

(4.20)

то алгоритм получил название пропорционально-интегрального, а регулятор – ПИ-регулятора.

Благодаря наличию интегральной составляющей в алгоритме, ПИ-регулятор обеспечивает высокую точность в установившихся режимах, а при определенном соотношении коэффициентов k_П и k_И обеспечивает хорошие показатели и в переходных режимах. Поэтому он получил наибольшее распространение в промышленной автоматике.

Пропорционально-дифференциальный алгоритм регулирования (ПД-алгоритм).

Этот алгоритм реализуется при помощи регулятора с передаточной функцией

(4.21)

Так как управляющее воздействие пропорционально как самому сигналу ошибки, так и его производной

(4.22)

то алгоритм получил название пропорционально-дифференциального, а регулятор – ПД-регулятора.

ПД-регулятор реагирует не только на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения. Благодаря этому при регулировании достигается эффект упреждения. Недостатком ПД-регулятора является невозможность обеспечения высокой точности регулирования.

Пропорционально-интегрально-дифференциальный алгоритм регулирования (ПИД-алгоритм).

Этот алгоритм реализуется при помощи регулятора с передаточной функцией

(4.23)

Так как управляющее воздействие пропорционально как самому сигналу ошибки, так и его интегралу и производной

(4.24)

то алгоритм получил название пропорционально-интегрально-дифференциального, а регулятор – ПИД-регулятора.

ПИД-алгоритм – наиболее гибкий алгоритм регулирования (в классе линейных алгоритмов). Он сочетает в себе преимущества более простых выше рассмотренных алгоритмов.

Коэффициенты k_П, k_И, k_Д, входящие в передаточные функции типовых регуляторов, подлежат настройке при наладке АСУ и поэтому называются настроечными параметрами. Они имеют наименования: k_П, k_И, k_Д - коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной частей АСУ.

4.5. Методы моделирования АСУ на ЦВМ

Мощным инструментом при решении задач ТАУ являются цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в частности персональные электронные вычислительные машины (ПЭВМ).

Целью моделирования АСУ на ЦВМ является расчет изменения управляемой величины x(t) в переходном режиме. Результаты этого расчета необходимы при анализе работы АСУ и ее создании (синтезе).

Моделирование АСУ на ЦВМ в зависимости от применяемых математических методов можно осуществлять двумя путями:

· путем численного интегрирования;

· путем структурного моделировани я.

Численное интегрирование – интегрирование совокупности дифференциальных уравнений, описывающих движение (изменение режимных параметров во времени) АСУ.

Весьма удобным инструментом для осуществления численного интегрирования является программный продукт «VisSim» для ПЭВМ, предназначенный преимущественно для моделирования виртуальных устройств, входящих в состав АСУ.

Из виртуальных устройств, имеющихся в продукте «VisSim», можно собирать алгоритмические схемы для решения системы дифференциальных и/или алгебраических уравнений и отображать результаты решения на различных виртуальных индикаторах (стрелочных показывающих приборах, дисплее, графопостроителе и т. п.).

Для численного интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих переходный процесс в АСУ, эти уравнения следует представлять в нормальной форме Коши, т. е. разрешенными относительно первых производных.

Структурное моделирование – моделирование осуществляемое с помощью алгоритмической схемы АСУ, состоящей из типовых динамических звеньев, арифметических звеньев и/или звеньев с известными передаточными функциями.

Весьма удобным инструментом для реализации структурного моделирования также является программный продукт «VisSim». В нем преимущественно с помощью блоков «Transfer function» собирается алгоритмическая схема АСУ, которая и используется для анализа работы системы.

Пример моделирования АСУ путем численного интегрирования на ЦВМ

Для автоматической системы стабилизации напряжения на выходе r-c фильтра низкой частоты, нагруженного на резистор с сопротивлением r_н, включающей П-регулятор Р (коэффициент пропорциональности k_П) и компаратор К, схема электрическая принципиальная которой приведена на рис. 4.10, составим алгоритмическую схему для численного интегрирования на ПЭВМ.

Рис.4.10. Схема электрическая принципиальная АСУ

Система уравнений движения АСУ имеет вид

(4.25)

После исключения ряда параметров и приведения к виду Коши эта система уравнений принимает вид

(4.26)

Используя полученную систему уравнений, составляем искомую алгоритмическую схему АСУ для ее моделирования путем численного интегрирования на ПЭВМ с использованием программного пакета «VisSim» (рис. 4.11).

Рис. 4.11. Алгоритмическая схема АСУ для ее моделирования путем численного интегрирования на ПЭВМ с использованием программного пакета «VisSim»

Пример структурного моделирования АСУ на ЦВМ

Для автоматической системы стабилизации напряжения на выходе r-c фильтра низкой частоты, нагруженного на резистор с сопротивлением r_н, включающей П-регулятор Р (коэффициент пропорциональности k_П) и компаратор К, схема электрическая принципиальная которой приведена на рис. 4.10, составим алгоритмическую схему для структурного моделирования на ПЭВМ.

Применим к системе уравнений движения АСУ (4.26) прямое интегральное преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях и получим

(4.27)

После проведения алгебраических преобразований первого уравнения системы (4.27) приводим ее к виду

(4.28)

Введем обозначения:

- передаточная функция фильтра (объекта управления). (4.29)

- передаточная функция регулятора (4.30)

Учитывая эти обозначения в системе (4.28) приводим ее к виду

(4.31)

Используя полученную систему уравнений, составляем искомую алгоритмическую схему АСУ для ее структурного моделирования на ПЭВМ с использованием программного пакета «VisSim» (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Алгоритмическая схема АСУ для ее структурного моделирования на ПЭВМ с использованием программного пакета «VisSim»

5. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ АСУ

Вы узнаете:

· Что такое устойчивость АСУ.

· Общее математическое условие устойчивости.

· Какие критерии применяют при анализе устойчивости АСУ.

· Что такое области устойчивости АСУ и как их определяют.

· Как влияют структура и параметры АСУ на ее устойчивость.

5.1. Что такое устойчивость АСУ?

Одной из важнейших характеристик АСУ является ее устойчивость.

Устойчивость АСУ – свойство системы возвращаться в состояние равновесия после прекращения изменения воздействия, выведшего систему из этого состояния.

Неустойчивая АСУ не возвращается в состояние равновесия, а непрерывно удаляется от него

От устойчивости АСУ зависит ее работоспособность. Система, не обладающая устойчивостью, вообще не способна выполнять функции управления и имеет нулевую или даже отрицательную эффективность. Неустойчивая система может привести управляемый объект в аварийное состояние. Поэтому проблема устойчивости систем является одной из центральных в теории автоматического управления.

Проявлением, по которому можно судить об устойчивости или неустойчивости системы, является характер изменения ее сигналов во времени, например, управляемой величины x(t). Если управляемая величина x(t) после прекращения изменения, например, задающего воздействия x_з(t) становитя с течением времени постоянной (рис.5.1, а), то система ведет себя устойчиво. Если же управляемая величина x(t) – возрастает, то система ведет себя неустойчиво.

Рис. 5.1. Графики изменения сигналов АСУ во времени

а – устойчивая АСУ; б – неустойчивая АСУ

Вскроем причины неустойчивости АСУ.

Неустойчивость АСУ возникает, как правило, из-за неправильного (положительного) или очень сильного действия главной обратной связи. В результате чего в систему в режиме гармонических колебаний непрерывно поступает (закачивается) энергия. Энергия системы увеличивается. Увеличиваются и связанные с ней режимные параметры, например, регулируемая величина. Такое явление в технике получило название резонанса.

Причинами неправильного действия главной обратной связи АСУ являются:

· Выполнение главной обратной связи АСУ по ошибке положительной вместо отрицательной, что практически при любых параметрах делает систему неустойчивой.

· Значительная инерционность элементов замкнутого контура АСУ (например, объекта управления), из-за которой в режиме колебаний системы сигнал главной обратной связи (например, управляемая величина) значительно отстает от входного сигнала (например, управляющего воздействия) и оказывается с ним в фазе. Это означает, что связь, выполненная конструктивно как отрицательная, в динамическом режиме (режиме гармонических колебаний) начинает на определенной частоте действовать как положительная. Это ведет к раскачиванию системы и нарушению ее устойчивости.

Задачами анализа устойчивости АСУ обычно являются:

· определение устойчивости или неустойчивости системы при заданных параметрах;

· определение допустимого по условиям устойчивости диапазона изменения некоторых незаданных параметров системы;

· выяснение принципиальной возможности устойчивости системы при заданной ее структуре.

5.2. Общее математическое условие устойчивости

Согласно данному выше физическому определению устойчивость определяется характером движения системы, когда воздействия, выведшие ее из состояния равновесия, прекратили действовать или изменяться во времени. Такое движение системы называют свободным. Оно происходит за счет внутренней энергии самой системы и зависит только от ее свойств (параметров).

Свободное движение линейной или линеаризованной АСУ описывается однородным дифференциальным уравнением

(5.1)

где x(t) – свободная составляющая выходной (управляемой) величины системы.

Вынужденная составляющая выходной величины, зависящая от вида внешнего воздействия и соответственно от правой части уравнения (2.19) на устойчивость системы не влияет.

С математической точки зрения:

· системаустойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю;

· системанеустойчива, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени неограниченно возрастает;

· система находится на границе устойчивости, если свободная составляющая x(t) переходного процесса с течением времени не стремится ни к нулю, ни к бесконечности.

Решение уравнения (5.1) равно сумме

(5.2)

где C_k – постоянные, зависящие от начальных условий; p_k – корни характеристического уравнения

(5.3)

Корни характеристического уравнения могут быть действительными (p_k = a_k), мнимыми (p_k = jb_k) и комплексными (p_k = a_k ± jb_k). При этом комплексные корни всегда попарно сопряжены между собой: если есть корень с положительной мнимой частью, то обязательно существует корень с такой же по модулю, но отрицательной мнимой частью.

Переходная составляющая (5.2) при времени t ® ¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида Характер этой функции времени зависит от вида корня p_k. На рис.5.1 изображены возможные случаи расположения корней p_k на комплексной плоскости и соответствующие им функции x_k(t), которые показаны внутри окружностей.

Рис. 5.1. Влияние корней характеристического уравнения АСУ на составляющие ее свободного движения

Анализ рис.5.1 позволяет сформулировать общее математическое условие устойчивости: для устойчивости линейной АСУ необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными (или чтобы все корни характеристического уравнения системы располагались в левой части комплексной плоскости).

Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему, т. е. устойчивость есть внутреннее свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.

Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть (располагается в правой части комплескной плоскости), то система будет неустойчивой.

Мнимая ось jb является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (p_k = +jb_k, p_k+1 =- jb_k), а все остальные корни находятся в левой части комплексной плоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой w = | b_k |. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.

Если характеристическое уравнение имеет нулевой корень (b = 0), то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.

Применяя сформулированное выше условие для оценки устойчивости реальных АСУ, не следует забывать, что линейные уравнения вида (5.1), как правило, получаются в результате упрощений и линеаризации исходных нелинейных уравнений. Возникает вопрос: в какой мере оценка устойчивости по линеаризованному уравнению будет справедлива для реальной системы, и не окажут ли существенное влияние на результат анализа отброшенные при линеаризации члены разложения? Ответ на него был дан русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. в работе «Общая задача об устойчивости движения». Он сформулировал и доказал следующую теорему: если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой корень или одну пару мнимых корней, то судить об устойчивости реальной системы по линеаризованному уравнению нельзя. Отброшенные при линеаризации малые члены могут сделать систему неустойчивой, и поэтому устойчивость реальной системы необходимо оценивать по исходному нелинейному уравнению.

Характеристическое уравнение АСУ можно составлять не только по дифференциальному уравнению (5.1) ее свободного движения, но и по ее алгоритмической схеме с известными передаточными функциями звеньев.

Получим характеристическое уравнение разомкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.5.2, а.

Ее уравнение движения

, (5.4)

или представляя передаточную функцию системы в виде

(5.5)

где K (p) и D (p) – входной и собственный операторы, уравнение движения приводим к виду

(5.6)

Полагая в уравнении (5.6) задающее воздействие X_З (p) = 0 записываем уравнение свободного движения АСУ

(5.7)

Откуда искомое характеристическое уравнение разомкнутой АСУ

(5.8)

Рис.5.2. Алгоритмические схемы АСУ

а – разомкнутой; б – типовой замкнутой

Получим характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис.5.2, б.

Ее уравнение движения

(5.9)

или с учетом обозначения (5.5)

(5.10)

Полагая в уравнении (5.10) X_З (p) = 0, записываем уравнение свободного движения АСУ

(5.11)

Тогда искомое характеристическое уравнение типовой замкнутой АСУ

(5.12)

5.3. Критерии устойчивости АСУ

Как было показано выше, для суждения об устойчивости линейной АСУ достаточно определить лишь знаки действительных частей корней характеристического уравнения.

В ТАУ разработан ряд правил, с помощью которых можно судить о знаках действительных частей корней, не решая характеристическое уравнение и не находя числовые значения самих корней. Эти правила получили название критериев устойчивости.

Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устанавливают необходимые и достаточные условия отрицательности вещественных частей корней в форме ограничений, накладываемых на определенные комбинации коэффициентов характеристического уравнения системы.

Частотные критерии определяют связь между устойчивостью системы и формой ее частотных характеристик.

Наибольшее распространение в инженерной практике нашли алгебраические критерии Гурвица и Рауса.

Рассмотрим один из них - критерий Гурвица.

Критерий был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу – задачу исследования устойчивости линейного дифференциального уравнения. Гурвиц обратился к этой задаче по просьбе словацкого ученого А. Стодолы, занимавшегося вопросами регулирования турбин.

Применительно к задачам ТАУ критерий Гурвица можно сформулировать так:

автоматическая система управления, описываемая характеристическим уравнением

(5.13)

устойчива, если при a₀ > 0 положительны все определители D₁, D₂,…, D_n вида

, i = 1, 2, 3, …, n. (5.14)

Если хотя бы один из определителей (5.14), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива.

Определители Гурвица составляют следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от a₁ до a_i (в порядке возрастания индекса), затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами; на место с коэффициентами с индексами большими n или меньшими нуля проставляют нули. При этом каждый i –й определитель получается размером i ´ i.

Так как последний столбец определителя D_n содержит всегда только один элемент a_n, отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

(5.15)

Рассмотрим, например, применение критерия Гурвица для характеристического уравнения третьего порядка

(5.16)

Условия устойчивости по Гурвицу будут

(5.17)

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисление определителей становится громоздким. Для анализа устойчивости систем выше четвертого порядка целесообразно применять критерий Рауса.

Из частотных критериев наибольшее распространение нашли критерии Михайлова и Найквиста.

5.4. Области устойчивости АСУ

При помощи критериев устойчивости можно установить факт устойчивости или неустойчивости АСУ, все параметры которой заданы. Однако часто при проектировании и наладке АСУ возникает более общая задача анализа устойчивости – определение допустимых (по условию устойчивости) пределов изменения некоторых варьируемых параметров системы. В качестве таких параметров обычно рассматривают коэффициенты и постоянные времени управляющего устройства (регулятора), которые можно целенаправленно изменять при настройке системы. Так как эти коэффициенты и постоянные времени однозначно определяют коэффициенты характеристического уравнения системы, то последние так же могут служить варьируемыми параметрами.

Допустимые пределы варьирования параметров системы можно определить путем построения областей устойчивости.

Область устойчивости АСУ – область в пространстве варьируемых параметров АСУ, каждой точке которой соответствуют только корни характеристического уравнения с отрицательными действительными частями (располагающиеся в левой части комплексной плоскости).

Область устойчивости выделяет из всех возможных значений варьируемых параметров лишь те значения, при которых система устойчива.

Поверхность, ограничивающая область устойчивости, называется границей области устойчивости.

Вид области устойчивости и ее границы определяется числом варьируемых параметров. Так при одном варьируемом параметре a область устойчивости – отрезок прямой, а граница – точки a₁ и a₂ по концам этого отрезка (рис.5.3, а). При двух варьируемых параметрах a и b область устойчивости – часть плоскости, а граница – например, линия АВ, часть ОА оси параметра a и положительная ось параметра b (рис. 5.3, б). Граница со стороны области устойчивости штрихуется.

Рис. 5.3. Области устойчивости АСУ

а – при одном варьируемом параметре; б – при двух варьируемых параметрах

Для отыскания границы области устойчивости можно воспользоваться одним из критериев устойчивости, например, критерием Гурвица, а можно и другими способами, например, методом D-разбиения.

Определим, например, область устойчивости АСУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка с одним варьируемым параметром a,

(5.18)

Воспользуемся критерием Гурвица. Согласно ему должны выполняться условия (5.17)

(5.18)

Откуда искомая область устойчивости

(5.19)

Определим так же, например, область устойчивости АСУ, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка с двумя варьируемыми параметрами a и b

(5.20)

Воспользуемся критерием Гурвица. Согласно ему должны выполняться условия (5.17)

(5.21)

Откуда искомая область устойчивости

(5.22)

В графическом виде эта область устойчивости представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Область устойчивости АСУ в пространстве двух параметров

5.5. Влияние структуры и параметров АСУ на устойчивость

В предыдущих параграфах было показано, что устойчивость АСУ зависит как от вида ее характеристического уравнения, так и от конкретных числовых значений коэффициентов уравнения. Существуют системы, которые неустойчивы при любых значениях параметров. Такие системы называют структурно неустойчивыми. Структурно неустойчивую систему можно сделать устойчивой, только изменив ее структуру. У структурно неустойчивой системы в пространстве любых ее параметров области устойчивости не существует. Таковой, например, является АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 5.5. В ней Т и k – соответственно постоянная времени и передаточный коэффициент инерционного звена.

Рис. 5.5. Алгоритмическая схема структурно неустойчивой АСУ

Характеристическое уравнение такой системы, имеет вид

(5.23)

По критерию Гурвица должны выполняться условия остойчивости (5.17)

(5.24)

Однако ни при каких значениях постоянной времени Т и передаточного коэффициента k определитель D₂ не может быть положительным. Поэтому рассматриваемая система является структурно неустойчивой.

Существуют общие рекомендации по влиянию на структурную устойчивость одноконтурной АСУ:

· звенья, уменьшающие инерционность системы, способствуют ее устойчивости (например, форсирующее звено первого порядка);

· звенья, увеличивающие инерционность системы, способствуют ее неустойчивости (например, идеальные интегрирующее и колебательное звенья).

Рассмотрим влияние одного из основных параметров одноконтурной АСУ (рис. 4.7) – передаточного коэффициента разомкнутой АСУ на ее устойчивость.

Чем этот коэффициент больше, тем более резко изменяются сигналы и воздействия в системе, т. е. ее свободное движение происходит с большей частотой. Следствием этого является большее запаздывание по фазе сигнала обратной связи (управляемой величины) по отношению к сигналу ошибки. И при определенном передаточном коэффициенте обратная связь начинает работать уже как положительная и приводит к раскачиванию системы, т. е. к неустойчивости системы.

Таким образом, установлена общая закономерность: чем больше передаточный коэффициент разомкнутой АСУ, тем ближе замкнутая АСУ к границе устойчивости.

Предельное значение передаточного коэффициента разомкнутой АСУ зависит от соотношения постоянных времени звеньев, образующих контур системы. Рассмотрим, например, статическую АСУ, состоящую из трех инерционных звеньев первого порядка с передаточными коэффициентами k₁, k₂, k₃ и постоянными времени Т₁, Т₂, Т₃, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Алгоритмическая схема статической одноконтурной АСУ

а – развернутая; б - свернутая

Передаточная функция разомкнутой АСУ (обратная связь разомкнута)

(5.25)

где k – передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Согласно (5.5 и 5.12) характеристическое уравнение замкнутой системы

(5.26)

или

(5.27)

где

(5.28)

Согласно критерию Гурвица система третьего порядка будет находится на границе устойчивости при

(5.29)

Подставляя в условие (5.29) значения коэффициентов a₀, а₁, а₂, а₃ из выражений (5.28), получаем

(5.30)

Решая это уравнение получаем искомое значение предельного коэффициента

(5.31)

Анализ зависимости (5.31) позволяет говорить, что предельный коэффициент тем больше, чем больше разность между двумя наиболее различающимися постоянными времени (например, Т₁ и Т₂) и чем ближе третья постоянная времени (Т₃) к среднеарифметическому значению двух первых.

Сказанное выше справедливо для систем любого порядка, и, поэтому, всегда при конструировании АСУ стремятся как можно больше «раздвинуть» постоянные времени. Однако изменение постоянных времени с целью увеличения передаточного коэффициента во многих случаях оказывается невозможным или нецелесообразным. И тогда эффективным средством влияния на устойчивость системы является изменение ее структуры путем добавления специальных стабилизирующих и корректирующих устройств.

6. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА УПРАВЛЕНИЯ АСУ

Вы узнаете:

· Что такое качество управления АСУ.

· Какими показателями характеризуется качество управления АСУ.

6.1. Понятие и показатели качества управления АСУ

Качество АСУ – совокупность свойств, обеспечивающих эффективное функционирование системы в целом.

В свою очередь, свойства, из этой совокупности, выраженные в количественной форме, называют показателями качества АСУ.

Так АСУ можно характеризовать такими показателями качества, как вес системы, ее габариты, стоимость, надежность, долговечность и т. п. Эти показатели характеризуют качество АСУ в широком смысле.

В ТАУ же показатели качества рассматривают, как правило, в более узком смысле: рассматривают только статические и динамические свойства системы, характеризующие точность поддержания управляемой величины x(t) на заданном уровне x_з(t) соответственно в установившихся и переходных режимах, т. е. характеризующие эффективность процесса управления. Для такого более узкого понимания качества АСУ применяют термин «качество управления АСУ». Иными словами:

Качество управления АСУ – совокупность свойств АСУ, характеризующих точность поддержания управляемой величины на заданном уровне в установившихся и переходных режимах.

В свою очередь, свойства, из этой совокупности, выраженные в количественной форме, называют показателями качества управления АСУ.

Рассмотрим понятие точности АСУ.

Назначение АСУ заключается в поддержании равенства

(6.1)

при любых изменениях задающего и возмущающих воздействий. То есть АСУ должна воспроизводить задающее воздействие x_з(t) и подавлять (компенсировать) действие возмущающих воздействий. Однако из-за инерционности объекта управления и регулятора обе эти функции выполняются АСУ с погрешностью (ошибкой)

(6.2)

которая и характеризует точностьАСУ. Чем меньше мгновенные значения ошибки e(t), тем выше точность АСУ, т. е. ее качество.

Для типовой одноконтурной АСУ, алгоритмическая схема которой приведена на рис. 4.7, уравнение динамики в операторной форме для сигнала ошибки имеет вид

(6.3)

Подставляя значение управляемой величины X (p) из выражения (4.13), в уравнение (6.3), приводим последнее к виду

(6.4)

Из полученного выражения следует, что чем больше усилительные свойства регулятора (W_Р(p)), тем ошибка e(p), а значит и e(t) будет меньше и в статике и в динамике.

Так как определение (вычисление) мгновенных значений ошибки e(t) при произвольном законе изменения внешних воздействий представляет собой сложную задачу, то точность АСУ (показатели качества управления) принято оценивать по ошибкам в статическом, установившемся динамическом и переходном режимах работы АСУ.

6.1.1. Показатели качества управления АСУ в статическом режиме

В статическом режиме работы АСУ ошибки возникают только в статической системе!

Статическая АСУ – система, объект управления и регулятор которой являются статическими элементами.

У таких элементов в статическом режиме (т. е. при p = 0)

(6.5)

где k_о, k_р – передаточные коэффициенты объекта управления и регулятора.

Учитывая значения передаточных функций из выражений (6.5) в уравнении (6.4), получаем в статическом режиме ошибку

(6.6)

Анализ этого выражения позволяет сделать следующий вывод:

Точность АСУ в статическом режиме тем выше, чем больше передаточный коэффициент (k = k_р k_о) разомкнутой АСУ.

Точность статической системы принято оценивать коэффициентом статизма

(6.7)

где

- установившееся отклонение управляемой величины x, вызванное изменением, например, задающего воздействия x_з, в разомкнутой системе (рис. 6.1, а);

- установившееся отклонение управляемой величины x, вызванное изменением задающего воздействия x_з, в замкнутой системе (рис. 6.1, б).

Рис. 6.1. Алгоритмические схемы разомкнутой (а) и замкнутой (б) АСУ

Пример определения параметров и при скачкообразном изменении задающего воздействия Dx_з приведен на рис. 6.2.

Рис. 6.2. К определению параметров для расчета коэффициента статизма

Из алгоритмических схем (рис.6.1) следует, что

, (6.8)

(6.9)

Подставляя значения отклонений параметров из выражений (6.8 и 6.9) в выражение (6.7), получаем коэффициент статизма

(6.10)

Точность системы – удовлетворительная, если коэффициент статизма системы s = 0,1…0,01. Следовательно передаточный коэффициент разомкнутой системы k должен быть 10…100.

6.1.2. Показатели качества управления АСУ в установившемся динамическом режиме

Установившийся динамический режим наступает после окончания переходного процесса. В этом режиме управляемая величина и сигнал ошибки имеют только вынужденную составляющую, т. е. изменяются только под действием внешних воздействий.

В зависимости от свойств АСУ, от точки приложения и вида внешнего воздействия:

· ошибка равна нулю;

· ошибка равна постоянной величине;

· ошибка неограниченно возрастает.

В свою очередь, свойства АСУ характеризуются:

· передаточным коэффициентом k разомкнутой АСУ;

· порядком астатизма системы n - числом идеальных интегрирующих звеньев в разомкнутой АСУ (n = 0 – статическая система; n ³ 1 – астатическая система).

Так как на практике находят применение И, ПИ, ПИД регуляторы, то порядок астатизма n = 1, но может быть и n = 2.

На рис. 6.3 приведены переходные процессы в АСУ с различными степенями статизма n при различных законах изменения задающего воздействия (e_з – составляющая ошибки, обусловленная изменением задающего воздействия x_з).

В установившемся динамическом режиме, как и в статическом, действует правило: точность воспроизведения системой управления задающего воздействия и точность подавления ею внешних возмущений тем лучше, чем больше передаточный коэффициент регулятора.

6.1.3. Показатели качества управления АСУ в переходном режиме

Точность АСУ в переходном режиме оценивают при помощи прямых и косвенных показателей качества.

Прямые показатели качества определяют по графику переходного процесса, возникающего в системе при ступенчатом внешнем воздействии.

Косвенные показатели качества определяют по распределению корней характеристического уравнения или по частотным характеристикам системы.

В настоящее время разработаны и получили широкое распространение мощные средства компьютерного моделирования АСУ, позволяющие точно и быстро вычислять переходный процесс, т. е. оценивать точность системы через прямые показатели качества. Поэтому на этих показателях качества и сосредоточим свое внимание.

Различают колебательный (1), апериодический (2) и монотонный (3) типовые переходные процессы (рис. 6.4).

Рис. 6.3. Переходные процессы в статической и астатической АСУ при ступенчатом (а) и линейном (б) изменении задающего воздействия

Рис. 6.4. Типовые переходные процессы

а – по заданию; б – по возмущению

Каждый из трех типовых переходных процессов имеет свои преимущества и недостатки, и предпочтение той или иной форме процесса отдают с учетом особенностей объекта управления. Так, например, в электромеханических системах, коими являются электрические системы, нежелательны резкие знакопеременные усилия, и поэтому при выборе настроек АСУ такими объектами стремятся к достижению апериодических и монотонных процессов.

Рассмотрим основные прямые показатели качества управления АСУ применительно к типовой одноконтурной системе регулирования (см. рис. 4.7).

На графиках переходных процессов, вызванных ступенчатым изменением задающего воздействия x_з (t) (рис. 6.5) и возмущения x_в (t), действующего на выходе объекта, (рис. 6.6), за начало отсчета для управляемой величины x (t) принято значение x (- 0), которое было до подачи ступенчатого воздействия.

Прежде всего познакомимся с показателями качества переходного процесса, вызванного ступенчатым изменением задающего воздействия x_з (t) (рис. 6.5).

Перерегулирование s - величина, равная отношению первого максимального отклонения x_м управляемой величины x (t) от ее установившегося значения x(¥) к этому установившемуся значению:

(6.11)

Качество управления считается удовлетворительным, если перерегулирование не превышает 30…40%.