Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.
Рис.2.7
ℓ – длина стержня до приложения нагрузки;
ℓ1 – длина стержня после приложения нагрузки;
b – поперечный размер до приложения нагрузки;
b1 – поперечный размер после приложения нагрузки.
Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ1 – ℓ.
Абсолютная поперечная деформация ∆b = b1 – b.
Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ
. (2.5)
Аналогично находятся поперечные деформации
. (2.6)
При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной.
ε′ = – νε. (2.7)
Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении
. (2.8)
Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0.
Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука:
σ = Еε. (2.9)
Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2...2,2)105 МПа или Е = (2...2,2)104 кН/см2.
Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5), получим выражение для абсолютной деформации
. (2.10)
Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии.
Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века.
Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически
. (2.11)
Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле
. (2.12)
В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости
, (2.13)
где ∆ℓ – изменение размеров детали;
[∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения.
Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность.
2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса
Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила Nx в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.
Nx = γFx, (2.14)
где γ – объёмный вес материала стержня.
. (2.15)
Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:
.
Получили выражение для произвольного сечения стержня
. (2.16)
При х = ℓ перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня
. (2.17)
На рис.2.8,в,г,д приведены графики Nx, σх и ux
а б в г д
Рис.2.8
Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:
.
Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому
. (2.18)
Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).
Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.
Принцип независимости действия сил вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.