Деформации. Закон Гука

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокра­щаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.

Рис.2.7

ℓ – длина стержня до приложения нагрузки;

ℓ₁ – длина стержня после приложения нагрузки;

b – поперечный размер до приложения нагрузки;

b₁ – поперечный размер после приложения нагрузки.

Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ₁ – ℓ.

Абсолютная поперечная деформация ∆b = b₁ – b.

Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ

. (2.5)

Аналогично находятся поперечные деформации

. (2.6)

При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной.

ε′ = – νε. (2.7)

Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении

. (2.8)

Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0.

Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука:

σ = Еε. (2.9)

Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2...2,2)10⁵ МПа или Е = (2...2,2)10⁴ кН/см².

Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5), получим выражение для абсолютной деформации

. (2.10)

Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии.

Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века.

Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически

. (2.11)

Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле

. (2.12)

В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости

, (2.13)

где ∆ℓ – изменение размеров детали;

[∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения.

Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность.

2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса

Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила N_x в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.

N_x = γFx, (2.14)

где γ – объёмный вес материала стержня.

. (2.15)

Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:

.

Получили выражение для произвольного сечения стержня

. (2.16)

При х = ℓ перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня

. (2.17)

На рис.2.8,в,г,д приведены графики N_x, σ_х и u_x

а б в г д

Рис.2.8

Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:

.

Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому

. (2.18)

Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).

Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.

Принцип независимости действия сил вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.