Корреляция рядов динамики

Автокорреляция в рядах динамики (автокорреляция уровней временных рядов)

Автокорреляция в динамических рядах – зависимость между уровнями ряда или зависимость между исходным динамическим рядом и тем же рядом, но смещенным на определенный временной интервал, называемый лагом.

Лаг – временной интервал, разделяющий зависимые уровни.

Исходный Смещенные ряды

ряд

lag = 1 lag = 2

y_t

y₁ y_t-1

y₂ y₁ y_t-2

y₃ y₂ y1

… … …

y_n y_n-1 y_n-2

y_n y_n-1

y_n

Наличие автокорреляции в рядах динамики оценивается на основе коэффициентов автокорреляции, которые строятся и рассчитываются аналогично коэффициентам парной корреляции

, где

– уровни исходного ряда

– уровни смещенного ряда

i – временной лаг

– среднеквадратическое отклонение, рассчитанное на основе значений исходного ряда

- среднеквадратическое отклонение, рассчитанное на основе значений смещенного ряда

Величина лага определяет порядок коэффициента:

если lag = 1, то говорят о коэффициенте автокорреляции первого порядка

если lag = 2, то говорят о коэффициенте автокорреляции второго порядка

…

Если n > 20 и рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, то , .

Чем больше величина лага и чем меньше число уровней в изучаемом ряду, тем больше разница в значениях средних уровней и стандартных отклонений коррелируемых рядов.

Коэффициент автокорреляции, как и парный коэффициент, изменяется в пределах от -1 до 1.

Оценка существенности (статистической значимости коэффициента автокорреляции) осуществляется на основе t- статистики:

t_ф ≥ t_т - чтобы признать величину коэффициента автокорреляции статистически значимой.

Близость коэффициента автокорреляции к нулю будет свидетельствовать об отсутствии автокорреляции в уровнях рядов, к единице – о присутствии.

Наличие автокорреляции в рядах динамики (что характерно для экономических и социальных явлений) свидетельствует о присутствии тенденции в изучаемых рядах.

Если исследуемый временной ряд включает достаточное число временных рядов, то могут быть рассчитаны коэффициенты автокорреляции высоких порядков.

Последовательность коэффициентов автокорреляции r_a1, r_a2, r_a3, …, r_ai принято называть автокорреляционной функцией. На ее основе может быть изучена внутренняя структура динамического ряда, то есть можно получить ответы на вопросы: присутствует ли тенденция в изучаемом ряду, подвержены ли уровни ряда циклическим (сезонным) колебаниям; и указать период циклических колебаний, о котором свидетельствуют максимальные значения коэффициентов автокорреляции.

На основе функции автокорреляции строится график, который называется коррелограмма.

Пример: даны фактические значения коэффициентов автокорреляции по ряду «Динамика инвестиций в основной капитал Российской Федерации за период 1999 – 2002г». Динамика зафиксирована поквартально.

r_a1 = 0.47

r_a2 = 0.04

r_a3 = 0.03

r_a4 = 0.70

r_a5 = -0.08

r_a6 = -0.09

r_a7 = -0.03

r_a8 = 0.75

r_a9 = 0.38

r_a10 = -0.08

r_a11 = 0.18

r_a12 = 0.96

Построим коррелограмму:

Высокое значение автокорреляции первого порядка свидетельствует о присутствии тенденции в изучаемом ряду. Высокие значения 4, 8 и 12 порядков корреляции говорят о присутствии циклических колебаний в динамике инвестиций в основной капитал, период цикла – четыре квартала. Однако величине коэффициента автокорреляции 12 порядка вряд ли стоит доверять, так как он рассчитан на основе четырех коррелируемых пар показателей.

Если установлено наличие автокорреляции в уровнях ряда, то тенденция изучаемого временного ряда может быть описана на основе уравнения авторегрессии.

Уравнение тренда: y = a + bt

Уравнение авторегрессии: y = a + by_t-i (в качестве фактора выступает предшествующий уровень).

Выбор уравнения авторегрессии осуществляется по аналогии с уравнением тренда и оценка его качества – по тем же критериям.

Величина i определяется исходя из порядка коэффициента автокорреляции, имеющего максимальное значение (если величина коэффициента статистически значима).

Если в изучаемом временном ряду отсутствуют циклические колебания, то коррелограмма отразит затухающую автокорреляционную функцию, так как чем выше порядок автокорреляции, тем меньше будет его значение. Поэтому в динамических рядах, построенных по данным годичных интервалов, как правило, максимальное значение имеет коэффициент автокорреляции первого порядка. Строится уравнение, в котором фактором выступает ряд, смещенный на один лаг.

Если получено удовлетворительное уравнение авторегрессии, на его основе может быть осуществлен прогноз, но следует помнить, что чем больше период упреждения, тем менее точен прогноз (так как уже на втором шаге прогноза в качестве фактора в уравнение подставляется уже спрогнозированная величина).

На практике часто возникает необходимость изучения связей между двумя или несколькими динамическими рядами. Статистическим процедурам анализа всегда должен предшествовать теоретический анализ на основе положений экономической теории и знаний о тех процессах и явлениях, которые описываются имеющимися динамическими рядами. Этот анализ необходим чтобы избежать оценки так называемой ложной корреляции при реальном отсутствии зависимости между явлениями.

Если в изучаемых рядах существуют однонаправленные тенденции, то коэффициент корреляции получается завышенным. Если в изучаемых рядах присутствуют разнонаправленные тенденции, то значения коэффициентов корреляции получаются заниженными. Поэтому, если теоретически обоснованно наличие связи между временными рядами, то при статистической ее оценке следует исключить также с невыполнением одного из условий применения метода корреляционно-регрессионного анализа.

В динамических рядах, как правило, присутствует автокорреляция уровней, что говорит о невыполнении условия независимости наблюдений.

Статистикой разработано несколько вариантов исключения тенденции из временных рядов.

I В первую очередь возможно коррелировать не уровни рядов, а остатки от трендовых моделей. При этом выполняются следующие шаги:

1) строятся статистически значимые трендовые модели для каждого ряда;

2) определяются остатки от трендовых моделей;

3) оценивается наличие автокорреляции в остатках. Если в остатках автокорреляция присутствует, то опять строится модель и заново вычисляются остатки. Если в остатках автокорреляция присутствует, то на основе значений остатков рассчитывают показатели корреляции и строят модель.

II Коррелирование показателей, являющихся постоянными в трендовых моделях. Так, в условиях линейного тренда коррелируются цепные абсолютные приросты. Если тренд описывался экспонентой, коррелируются цепные коэффициенты роста. Если тренды в изучаемых рядах описаны с использованием разных функций, возможно коррелировать разные показатели.

III Переход от парной регрессии ко множественной регрессии путем прямого включения в уравнение связи фактора времени.

Математической статистикой доказано, что включение фактора времени аналогично коррелированию остатков от трендовых моделей.

Самый распространенный вариант ухода от автокорреляции.

При изучении зависимости между временными рядами следует учитывать возможность запаздывания изменения уровней другого временного ряда. При коррелировании таких рядов следует учитывать этот временной лаг.