Элементарные функции комплексной переменной

1. Функции комплексной переменной определяются как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного переменного:

(1.4)

(1.5)(1.6) (1.7)

(1.8)

Из определения функций (10.4)-(10.8) следуют формулы, связывающие их:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

(1.16)

Элементарные функции (1.4) – (1.8) являются однозначными и непрерывными на всей комплексной области Z.

2. Показательная функция совпадает с обычной функцией для нее справедлива теорема сложения

Функция периодическая с чисто мнимым основным периодом

Тригонометрические функции для действительных совпадает с обычным синусом и косинусом, периодичны с действительным периодом - нечетная, - четная функция; подчиняются обычным тригонометрическим соотношениям:

и т.п.

Функция называется гиперболическим синусом; функция называется гиперболическим конусом. Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции формулами (1.15,1.16).

С помощью функций (1.4) - (1.8) вводятся другие элементарные функции. 3 Логарифмическая функция определяется как функция, обратная показательной:

если:

Для нее справедливо свойство логарифмов:

В частности, полагая , получаем

(1.17)

В формуле (1.17) символ может обозначать любое значение аргумента, поэтому каждое комплексное число имеет бесчисленное множество логарифмов.

Выражение называется главным значениемлогарифмической функции и обозначается, как Многозначная логарифмическая функция обозначается

(1.18)

4. Общая показательная функция:

(1.19)

Эта функция представляет собой совокупность отдельных, не связанных между собой однозначных функции, отличающихся множителями где k- целое число. Главное значение этой многозначной функции равно