Ковариация и корреляция

Выборочной ковариацией двух переменных х, у называется средняя величина произведения отклонений этих переменных от своих средних, т. е.

или

где , — выборочные средние переменных х, у.

Ковариацию можно вычислить с помощью функции Excel КОВАР(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

Выборочная ковариация является мерой взаимосвязи между двумя переменными.

Пусть данные наблюдений переменных х, у представлены в виде точечного графика – диаграммы рассеяния наблюдений

Точка на диаграмме является центром рассеяния переменных х, у.

Вертикальная и горизонтальная прямые, проведенные через точку , разделяют диаграмму рассеяния на четыре области.

Наблюдения в областях I, III дают положительный вклад в ковариацию, а в областях II, IV — отрицательный.

Если положительные вклады преобладают над отрицательными, то ковариация будет положительной, в противном случае она будет отрицательной. Положительной ковариации отвечает положительная связь, а отрицательной — отрицательная.

При положительной (прямой) связи с увеличением одной переменной другая переменная в среднем также увеличивается, и наоборот при отрицательной (обратной) связи.

Заметим, что

Свойства ковариации:

1) ;

2) , где а – константа;

3) , где а – константа;

Пусть выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности и отражает ее свойства.

Если случайные величины X, У независимы, то ковариация равна нулюи выборочные точки на диаграмме рассеяния наблюдений можно заключить в окружность с центром в точке .

Если X, У зависимы, то ковариация отлична от нуляи выборочные точки можно заключить в эллипс с центром в точке , при этом положение большей полуоси эллипса будет указывать направление связи (положительная или отрицательная).

Более точной мерой зависимости между величинами является коэффициент корреляции.

Выборочный коэффициент корреляции определяется выражением

он является безразмерной величиной и показывает степень линейной связи двух переменных.

Коэффициент корреляции можно вычислить с помощью функции Excel КОРРЕЛ(массив1; массив2), где Массив 1 и 2 ¾ это значения x и y.

Свойства коэффициента корреляции:

1) ;

2) ;

3) если , то X и Y точно связаны линейной функциональной зависимостью;

4) если , то между X и Y нет линейной корреляционной зависимости, но это не исключает существования другого вида зависимости;

5) если , то имеет место прямая корреляционная зависимость;

6) если , то имеет место обратная корреляционная зависимость.

На рисунках отражен геометрический смысл коэффициента корреляции. На рисунках а и б случайные величины X, У коррелированы (r > 0 или r < 0), на рисунках в и г — некоррелированы (r = 0). Если r = 0, случайные величины могут быть как зависимыми (см. рис. в), так и независимыми(см. рис. г).

Выборочный коэффициент корреляции является случайной величиной.

Проверка гипотезы о корреляции случайных величин. Пусть по данным выборки объема п получен выборочный коэффициент корреляции r ¹ 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции r, т.е,