Изоморфность уравнений переноса

Для анализа и расчета процессов, кроме данных материального и энергетического балансов, необходимо знать интенсивностью протекания процессов. Для интенсификации любого производства необходимо, чтобы технологические процессы проходили с возможно большей скоростью. При рассмотрении гидродинамических, тепловых и массообменных процессов было замечено, что их кинетические уравнения аналогичны.

Для тепловых процессов кинетическое уравнение

, (1.3)

где Q – количество теплоты; τ – время; А₁ – площадь поверхности теплообмена; k₁ – коэффициент теплопередачи; Δt – разность температур в начальной и конечной точках переноса теплоты; r₁ – термическое сопротивление (r₁ = 1/k₁).

Для массообменных процессов кинетическое уравнение

, (1.4)

где m – масса вещества; τ – время; А₂ – площадь поверхности массообмена; k₂ – коэффициент массопередачи; Δ с – разность концентраций вещества в определяемых точках; r₂ – сопротивление массопередачи (r₂ = 1/k₂).

Для гидродинамических процессов, например для расхода жидкости, кинетическое уравнение

, (1.5)

где V – объем протекающей жидкости; τ – время; S – площадь сечения потока; k₃ – коэффициент проводимости среды (аналогично k₁ и k₂); Δ p – разность давлений в начале и конце потока; r₃ – гидравлическое сопротивление трубопровода (r₃ = 1/k₃).

Таким образом, все рассмотренные кинетические уравнения могут быть приведены к единому виду:

, (1.6)

где М – результат процесса, например, количество перенесенного вещества или теплоты);
А – некоторая величина, к которой отнесен результат процесса (в рассмотренных примерах площадь поверхности теплообмена, площадь поверхности массообмена, площадь сечения потока); τ – время протекания процесса; k – коэффициент скорости процесса (коэффициент теплопередачи, массопередачи, и т. д.); Δ – движущая сила процесса (разность температур, давлений, концентраций).

Величина М / (А· τ) носит название интенсивности процесса. Она всегда пропорциональна движущей силе процесса Δ и обратно пропорциональна сопротивлению r.

Из уравнения (1.6) следует, что для увеличения интенсивности процесса необходимо увеличить движущую силу или уменьшить сопротивление.

Рассмотренная аналогия существует не только для тепловых, массообменных и гидродинамических процессов, но и между электрическими, тепловыми и массообменными процессами. Эту аналогию называют изоморфностью уравнений переноса.

Свойство изоморфности дифференциальных уравнений, являющееся отражением единства законов природы, позволяет с помощью системы однотипных дифференциальных уравнений описывать различные по своей физической сущности явления. Таким образом, эффективно изучать характеристики сложных явлений на моделях, процессы в которых имеют иную физическую сущность, чем процессы в натуре.