Основы теории подобия. Подобие и моделирование систем, процессов и аппаратов

Подобие и моделирование систем, процессов и аппаратов

Теория подобия – это наука о подобных явлениях. Термин “подобие” взят из геометрии. Например, хорошо известно, что для геометрически подобных фигур соответствующие углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Если – линейные размеры одной фигуры, а – сходственные линейные размеры другой фигуры, подобной первой, то справедливо равенство:

. (a)

Условие (а) представляет собой математическую формулировку геометрического подобия.

Для отношения площадей поверхности S или объёмов V подобных геометрических тел численные значения констант подобия будут другими, например,

Понятие подобия может быть распространено на любые физические явления. Например, если рассматривать подобие движения двух потоков жидкостей, то речь идёт о кинематическом подобии; если рассматривать подобие сил, вызывающих подобные движения, – то о динамическом подобии. Наконец, если говорят о подобии температур и тепловых потоков, то имеют в виду тепловое подобие.

Выводы теории подобия строятся на основании особых форм исследования дифференциальных уравнений, описывающих течение изучаемого процесса.

При составлении дифференциального уравнения процесс рассматривают не во всем исследуемом объеме и не за весь исследуемый промежуток времени, а в произвольно выделенном элементарном объеме в течение произвольно выбранного малого интервала времени. Выделенный элементарный объем настолько мал по сравнению со всем исследуемым объемом, что его линейные размеры могут быть приняты за дифференциалы длины. Применительно к изучаемому в элементарном объеме процессу дается математическая формулировка соответствующего общего закона физики.

Математическое выражение (или выражения), формулирующее таким способом общий закон (или законы) физики, представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее течение изучаемого процесса в любом элементарном объеме в любой момент времени.

При составлении дифференциального уравнения отвлекаются от частных особенностей процесса, поэтому оно описывает целый класс процессов, в пределах которого действуют примененные физические законы. Дифференциальное уравнение по существу не может описывать какой-нибудь единичный процесс, оно описывает бесчисленное множество однородных процессов.

Чтобы описать единичный процесс, нужно дополнить дифференциальное уравнение данными, характеризующими этот процесс. Эти дополнительные данные называют условиями однозначности.

Условия однозначности включают особенности процесса, не присущие всему рассматриваемому классу процессов. Они дают математическое описание всех частных особенностей только рассматриваемой задачи и включают:

- геометрические условия, определяющие размеры и форму тела или системы тел, где протекает процесс;

- физические свойства среды, существенные для рассматриваемого процесса;

- граничные условия, которые описывают особенности процесса, протекающего на границах системы с окружающей средой;

- временныеусловия, показывающие особенности протекания рассматриваемого процесса во времени.

Для стационарных процессов временные условия отпадают. Условия однозначности, заданные в виде конкретных численных значений, в соединении с дифференциальным уравнением выделяют из всего класса процессов один конкретный процесс. В этом случае решение дифференциального уравнения, если его удается получить, справедливо только для заданных численных условий однозначности.

Итак, понятие подобия применимо к таким физическим явлениям, которые качественно одинаковы как по форме, так и по содержанию, т.е. имеют одну физическую природу, развиваются под действием одинаковых сил и описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и краевыми условиями (или, иначе, условиями однозначности). В противном случае явления будут называться а налогичными. Примером их могут служить теплопроводность и диффузия. Они аналогичны, так как у них совершенно разная физическая природа: теплопроводность – изменение температуры тела, массообменный (диффузионный) процесс – изменение концентрации вещества.

Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие систем, где эти явления протекают. Иначе говоря, два физических явления будут подобны только лишь в том случае, если будут подобны все величины, их характеризующие. Это значит, что в сходственных точках пространства, для которых характерны одинаковые относительные значения аргументов, т.е. соблюдается равенство (а), и в сходственные моменты времени, когда интервалы и связаны равенством и имеют одинаковое начало отсчёта, любая величина первого явления пропорциональна однородной величине второго явления, т.е. .

Под однородными величинами понимаются такие, которые имеют одинаковую размерность и одинаковый физический смысл.

Таким образом, два потока жидкости будут подобны, например, в тепловом отношении, если они будут ограничены стенками геометрически подобной конфигурации, и в обоих потоках жидкости будут подобны все физические величины, определяющие рассматриваемое явление, т.е.

и т. д.,