2015-01-07
24506
В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу.
Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 
, прямыми 
, 
и графиком непрерывной на отрезке 
функции 
, которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:
Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу 
. У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.
С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.
То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл 
. Подынтегральная функция 
задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
Пример 1
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, 
, 
.
Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.
При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.
В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):
На отрезке 
график функции расположен над осью , поэтому:
Ответ: 
После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, и координатными осями.
Решение: Выполним чертеж:
Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: 
В данном случае:
Ответ: 
Внимание! Не следует путать два типа задач:
1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.
2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.
На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.
Пример 4
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
, 
.
Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы 
и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
Значит, нижний предел интегрирования 
, верхний предел интегрирования 
.
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.
Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.
Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция 
больше либо равна некоторой непрерывной функции 
, то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле: 
Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.
В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке 
парабола располагается выше прямой, а поэтому из 
необходимо вычесть 
Завершение решения может выглядеть так:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке 
, по соответствующей формуле:
Ответ: 
Пример 4
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
, , 
.
Решение: Сначала выполним чертеж:
Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!
Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.
Действительно:
1) На отрезке 
над осью расположен график прямой ;
2) На отрезке 
над осью расположен график гиперболы .
Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:
Ответ: 
Переходим еще к одному содержательному заданию.
Пример 8
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
, 
Представим уравнения в «школьном» виде 
, 
и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: 
.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть 
? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что 
. Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?
В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.
Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:
, 
Действительно, .
Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.
На отрезке 
, по соответствующей формуле:
Ответ: 
Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?
Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:
– вокруг оси абсцисс ;
– вокруг оси ординат 
.
В данной статье будут разобраны оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс.
Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.
