Тангенциальная составляющая ускорения 36 страница

(198.1)

Для черного тела , поэтому из закона Кирхгофа (см. (198.1)) вытекает, что R_n,T для черного тела равна r_n,T. Таким образом, универсальная функция Кирхгофа r_n,T есть не что иное,как спектральная плотность энергетической светимости черного тела. Следовательно, согласно закону Кирхгофа, для всех тел отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности равно спектральной плотности энергетической светимости черного тела при той же температуре и частоте.

Из закона Кирхгофа следует, что спектральная плотность энергетической светимо­сти любого тела в любой области спектра всегда меньше спектральной плотности энергетической светимости черного тела (при тех же значениях Т и n), так как А_n,T < 1 и поэтому R_n,T <r_n,T. Кроме того, из (198.1) вытекает, что если тело при данной температуре Т не поглощает электромагнитные волны в интервале частот от n до n +d n, то оно их в этом интервале частот при температуре T и не излучает, так как при А_n,T =0

R_n,T =0.

Используя закон Кирхгофа, выражение для энергетической светимости тела (197.2) можно записать в виде

Для серого тела

(198.2)

где

— энергетически светимость черного тела (зависит только от температуры).

Закон Кирхгофа описывает только тепловое излучение, являясь настолько харак­терным для него, что может служить надежным критерием для определения природы излучения. Излучение, которое закону Кирхгофа не подчиняется, не является тепловым.

§ 199. Законы Стефана — Больцмана и смещения Вина

Из закона Кирхгофа (см. (198.1)) следует, что спектральная плотность энергетическое светимости черного тела является универсальное функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории тепло­вого излучения.

Австрийский физик И. Стефан (1835—1893), анализируя экспериментальные дан­ные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_e от тем­пературы. Согласно закону Стефана — Больцмана,

(199.1)

т.е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; s — постоянная Стефана — Больцмана: ее экспери­ментальное значение равно 5,67×10^–8 Вт/(м² × К⁴).

Закон Стефана — Больцмана, определяя зависимость R_е от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из эксперимен­тальных кривых зависимости функции r_l,T от длины волны l при различных температурах (рис. 287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r_l,T от l и осью абсцисс, пропорциональна энер­гетической светимости R_e черного тела и, следовательно, по закону Стефана — Больц­мана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864—1928), опираясь на законы термо- и электродинами­ки, установил зависимость длины волны l _max, соответствующей максимуму функции r_l,T, от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

(199.2)

т. е. длина волны l _max, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r_l,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b — постоянная Вина; ее экспериментальное значе­ние равно 2,9×10^–3 м×К. Выражение (199.2) потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции r_l,T по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинновол­новое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

§ 200. Формулы Рэлея — Джинса и Планка

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамичес­кий подход к решению задача о нахождении универсальной функции Кирхгофа r_n,T не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зави­симости r_n,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877—1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, восполь­зовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея — Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

(200.1)

где á e ñ= kT — средняя энергия осциллятора с собственной частотой n. Для осцил­лятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы (см. § 50), поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы á e ñ= kT.

Как показал опыт, выражение (200.1) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефа­на — Больцмана (см. (199.1)) из формулы Рэлея — Джинса приводит к абсурду. Дейст­вительно, вычисленная с использованием (200.1) энергетическая светимость черного тела (см. (198.3))

в то времякак по закону Стефана — Больцмана R_е пропорциональна четвертой степени температуры. Этот результат получил название «ультрафиолетовой катаст­рофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

В области больших частот хорошее согласие с опытом дает формула Вина (закон излучения Вина), полученная им из общих теоретических соображений:

где r_n,T —спектральная плотность энергетической светимости черного тела, С и А — постоянные величины. В современных обозначениях с использованием постоянной Планка, которая в то время еще не была известна, закон излучения Вина может быть записан в виде

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося поло­жения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изме­няться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями — квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

(200.2)

где h = 6,625×10^–34 Дж×с — постоянная Планка. Так как излучение испускается порци­ями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e ₀:

В данном случае среднюю энергию á e ñ осциллятора нельзя принимать равной kT. В приближении, что распределение осцилляторов по возможным дискретным состояниям подчиняется распределению Больцмана (§ 45), средняя энергия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

(200.3)

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседа­нии Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т. е. при hn << kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка (200.3) совпадает с формулой Рэлея — Джинса (200.1). Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (200.3), найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея — Джинса (200.1).

Из формулы Планка можно получить закон Стефана—Больцмана. Согласно (198.3) и (200.3),

Введем безразмерную переменную x = hn /(kt); d x = h d n /(k T); dn=kT d x/h. Формула для R_e преоб­разуется к виду

(200.4)

где так как Таким образом, действительно формула Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср. формулы (199.1) и (200.4)). Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана — Больцмана значение, хорошо согласующееся с экспериментальными данными. Закон смещения Вина получим с помощью формул (197.1) и (200.3):

откуда

Значение l _max, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту произ­водную. Тогда, введя x=hc/ (kTl _max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc/ (kTl _max)=4,965, откуда

т. е. получили закон смещения Вина (см. (199.2)).

Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана — Больцмана s и Вина b. С другой стороны, зная эксперимен­тальные значения s и b, можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с эксперименталь­ными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революцион­ной квантовой гипотезе Планка.

§ 201. Оптическая пирометрия. Тепловые источники света

Законы теплового излучения используются для измерения температуры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд). Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости или интегральной энергетической светимости тел от температуры, называются оптической пирометрией. Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются пирометрами. В зави­симости от того, какой закон теплового излучения используется при измерении тем­пературы тел, различают радиационную, цветовую и яркостную температуры.

1. Радиационная температура — это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость R_e (см. (198.3)) равна энергетической светимости R_T (см. (197.2)) исследуемого тела. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела и по закону Стефана — Больцмана (199.1) вычисляется его радиаци­онная температура:

Радиационная температура T _р тела всегда меньше его истинной температуры Т. Для доказательства этого предположим, что исследуемое тело является серым. Тогда, используя (199.1) и (198.2), можно записать

С другой стороны,

Из сравнения этих выражений вытекает, что

Так как А_T< 1, то T _р< T, т. е. истинная температура тела всегда выше радиационной.

2. Цветовая температура. Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная плотность энергетической светимости

где A_T= const < 1. Следовательно, распределение энергии в спектре излучения серого тела такое же, как и в спектре черного тела, имеющего ту же температуру, поэтому к серым телам применим закон смещения Вина (см. (199.2)). Зная длину волны l _max, соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R_l,T исследуемого тела, можно определить его температуру

которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл. Таким способом определяется температура на поверхности Солнца (T _ц»6500 К) и звезд.

3. Яркостная температуря Т _я — это температура черного тела, при которой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела, т. е.

(201.1)

где Т — истинная температура тела. По закону Кирхгофа (см. (198.1)), для исследу­емого тела при длине волны l

(201.2)

или, учитывая (201.1),

Taк как для нечерных тел А <1, то r_{l,T я} <r_l,T и, следовательно, T _я< Т, т. е. истинная температура тела всегда выше яркостной.

В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. Накал нити пирометра подбирается таким, чтобы выполнялось условие (201.1). В данном случае изображение нити пирометра становится неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить как бы «исчезает». Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную тем­пературу.

Зная поглощательную способность А_l,Т тела при той же длине волны, по яркостной температуре можно определить истинную. Переписав формулу Планка (200.3) в виде

и учитывая это в (201.2), получим

т. е. при известных А_l,Т и l можно определить истинную температуру исследуемого тела.

4. Тепловые источники света. Свечение раскаленных тел используется для создания источников света, первые из которых — лампы накаливания и дуговые лампы — были соответственно изобретены русскими учеными Л. Н. Лодыгиным в 1873 г. и П. Н. Яблочковым в 1876 г.

На первый взгляд кажется, что черные тела должны быть наилучшими тепловыми источниками света, так как их спектральная плотность энергетической светимости для любой длины волны больше спектральной плотности энергетической светимости нечерных тел, взятых при одинаковых температурах. Однако оказывается, что для некоторых тел (например, вольфрама), обладающих селективностью теплового излуче­ния, доля энергии, приходящаяся на излучение в видимой области спектра, значительно больше, чем для черного тела, нагретого до той же температуры. Поэтому вольфрам, обладая еще и высокой температурой плавления, является наилучшим материалом для изготовления нитей ламп.

Температура вольфрамовой нити в вакуумных лампах не должна превышать 2450 К, поскольку при более высоких температурах происходит ее сильное распыление. Максимум излучения при этой температуре соответствует длине волны»1,1 мкм, т. е. очень далек от максимума чувствительности человеческого глаза (»0,55 мкм). Напол­нение баллонов ламп инертными газами (например, смесью криптона и ксенона с добавлением азота) при давлении»50 кПа позволяет увеличить температуру нити до 3000 К, что приводит к улучшению спектрального состава излучения. Однако светоотдача при этом не увеличивается, так как возникают дополнительные потери энергии из-за теплообмена между нитью и газом вследствие теплопроводности и кон­векции. Для уменьшения потерь энергии за счет теплообмена и повышения светоотдачи газонаполненных ламп нить изготовляют в виде спирали, отдельные витки которой обогревают друг друга. При высокой температуре вокруг этой спирали образуется неподвижный слой газа и исключается теплообмен вследствие конвекции. Энергетичес­кий к.п.д. ламп накаливания в настоящее время не превосходит 5%.

§ 202. Виды фотоэлектрического эффекта. Законы внешнего фотоэффекта

Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее развитие при объяснении фотоэффекта — явле­ния, открытие и исследование которого сыграло важную роль в становлении квантовой теории. Различают фотоэффект внешний, внутренний и вентильный. Внешним фотоэлектрическим эффектом (фотоэффектом) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитного излучения. Внешний фотоэффект наблюдается в тве­рдых телах (металлах, полупроводниках, диэлектриках), а также в газах на отдельных атомах и молекулах (фотоионизация). Фотоэффект обнаружен (1887 г.) Г. Герцем, наблюдавшим усиление процесса разряда при облучении искрового промежутка уль­трафиолетовым излучением.

Первые фундаментальные исследования фотоэффекта выполнены русским ученым А. Г. Столетовым. Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. 289. Два электрода (катод К из исследуемого металла и анод А — в схеме Столетова применялась металлическая сетка) в вакуумной трубке подключены к бата­рее так, что с помощью потенциометра R можно изменять не только значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь миллиамперметром. Облучая катод светом различных длин волн, Столетов установил следующие закономерности, не утратившие своего значения до нашего времени: 1) на­иболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение; 2) под действи­ем света вещество теряет только отрицательные заряды; 3) сила тока, возникающего под действием света, прямо пропорциональна его интенсивности.

Дж. Дж. Томсон в 1898 г. измерил удельный заряд испускаемых под действием света частиц (по отклонению в электрическом и магнитном полях). Эти измерения показали, что под действием света вырываются электроны.

Внутренний фотоэффект — это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свобод­ные без вылета наружу. В результате концентрация носителей тока внутри тела увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости (повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика при его освещении) или к возникнове­нию э.д.с.

Вентильный фотоэффект, являющийся разновидностью внутреннего фотоэффек­та, — возникновение э.д.с. (фото-э.д.с.) при освещении контакта двух разных полупро­водников или полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким образом, пути для прямого преоб­разования солнечной энергии в электрическую.

На рис. 289 приведена экспериментальная установка для исследования вольт-ампер­ной характеристики фотоэффекта — зависимости фототока I, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами. Такая зависимость, соответствующая двум различным освещенностям Е, катода (частота света в обоих случаях одинакова), приведена на рис. 290. По мере увеличения U фототок постепенно возрастает, т. е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока I _нас — фототок насы­щения — определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода:

где n — число электронов, испускаемых катодом в 1 с.

(202.1)

Из вольт-амперной характеристики следует, что при U =0 фототок не исчезает. Следовательно, электроны, выбитые светом из катода, обладают некоторой начальной скоростью v, а значит, и отличной от нуля кинетической энергией и могут достигнуть анода без внешнего поля. Для того чтобы фототок стал равным нулю, необходимо приложить задерживающее напряжение U ₀. При U = U ₀ ни один из электронов, даже обладающий при вылете из катода максимальной скоростью v _max, не может преодолеть задерживающего поля и достигнуть анода. Следовательно,

т. е., измерив задерживающее напряжение U ₀, можно определить максимальные значе­ния скорости и кинетической энергии фотоэлектронов.

При изучении вольт-амперных характеристик разнообразных материалов (важна чистота поверхности, поэтому измерения проводятся в вакууме и на свежих поверх­ностях) при различных частотах падающего на катод излучения и различных энер­гетических освещенностях катода и обобщения полученных данных были установлены следующие три закона внешнего фотоэффекта.

I. Закон Столетова: при фиксированной частоте падающего света число фотоэлект­ронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности Е_е ка­тода).

II. Максимальная начальная скорость (максимальная начальная кинетическая энер­гия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой n.

III. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т. е. мини­мальная частота n ₀ света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

Качественное объяснение фотоэффекта с волновой точки зрения на первый взгляд не должно было бы представлять трудностей. Действительно, под действием поля световой волны в металле возникают вынужденные колебания электронов, амплитуда которых (например, при резонансе) может быть достаточной для того, чтобы электро­ны покинули металл; тогда и наблюдается фотоэффект. Кинетическая энергия вырыва­емого из металла электрона должна была бы зависеть от интенсивности падающего света, так как с увеличением последней электрону передавалась бы большая энергия. Однако этот вывод противоречит II закону фотоэффекта. Так как, по волновой теории, энергия, передаваемая электронам, пропорциональна интенсивности света, то свет любой частоты, но достаточно большой интенсивности должен был бы вырывать электроны из металла; иными словами, красной границы фотоэффекта не должно быть, что противоречит III закону фотоэффекта. Кроме того, волновая теория не смогла объяснить безынерционность фотоэффекта, установленную опытами. Таким образом, фотоэффект необъясним с точки зрения волновой теории света.

§ 203. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Экспериментальное подтверждение квантовых свойств света

А. Эйнштейн в 1905 г. показал, что явление фотоэффекта и его закономерности могут быть объяснены на основе предложенной им квантовой теории фотоэффекта. Соглас­но Эйнштейну, свет частотой n не только испускается, как это предполагал Планк (см. § 200), но и распространяется в пространстве и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых e ₀= hn. Таким образом, распространение света нужно рассматривать не как непрерывный волновой процесс, а как поток локализован­ных в пространстве дискретных световых квантов, движущихся со скоростью с рас­пространения света в вакууме. Кванты электромагнитного излучения получили назва­ние фотонов.

По Эйнштейну, каждый квант поглощается только одним электроном. Поэтому число вырванных фотоэлектронов должно быть пропорционально интенсивности света (I закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется тем, что передача энергии при столкновении фотона с электроном происходит почти мгновенно.

Энергия падающего фотона расходуется на совершение электроном работы вы­хода А из металла (см. § 104) и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетичес­кой энергии mv ²_max/2. По закону сохранения энергии,

(203.1)

Уравнение (203.1) называется уравнением Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить II и III законы фотоэффекта. Из (203.1) непосредственно следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона ли­нейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от его интенсивности (числа фотонов), так как ни А, ни n от интенсивности света не зависят (II закон фотоэффекта). Так как с уменьшением частоты света кинетическая энергия фотоэлектронов уменьшается (для данного металла А= const), то при некоторой достаточно малой частоте n = n ₀ кинетическая энергия фотоэлектронов станет равной нулю и фотоэффект прекратится (III закон фотоэффекта). Согласно изложенному, из (203.1) получим, что