2015-01-21
2177
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку 
(рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс 
, где 
— масса молекулы, v — ее скорость. За время 
площадки достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием и высотой 
(рис.64). Число этих молекул равно 
(n – концентрация молекул).
Рис. 64
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку будет /6. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
|
|
|
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
(43.1)
Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями 
, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
(43.2)
характеризующую всю совокупность молекул газа.
Уравнение (43.1) с учетом (43.2) примет вид
(43.3)
Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по все возможным направлениям дает ту же формулу.
Учитывая, что n = N/V, получим
(43.4)
или
(43.5)
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.
Так как масса газа 
, то уравнение (43.4) можно переписать в виде
Для одного моля газа m = М (М — молярная масса), поэтому
где Vm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона — Менделеева, pVm = RT. Таким образом,
откуда
(43.6)
Так как 
, где — масса одной молекулы, а 
— постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
(43.7)
где k = R/NА — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
|
|
|
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа в соответствии с (43.5) и (43.7)
(43.8)
пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при 
т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа и формула (43.8) раскрывает молекулярно-кинетическое толкование температуры.
