Исторический обзор

ГЛАВА 3) Методы анализа детерминированных сигналов

В VI веке до нашей эры Пифагор установил соотношение между периодичностью чисто синусоидальных колебаний, соответствующих музыкальным звукам, порождаемым струной постоянного натяжения, и числом, характеризующим длину этой струны. Пифагор считал, что сущность гармонии выражается в числах. Он распространил это эмпирическое соотношение на описание гармонического движения небесных тел, описав его как "музыку сфер".

Математические основы современных методов спектрального оценивания берут свое начало еще XVII веке в работах Исаака Ньютона, который в результате наблюдений установил, что свет, прошедший через стеклянную призму, раздагается на многоцветную полосу, что каждому цвету соответствует своя длина волны и что белый цвет содержит все длины волн.

Именно Ньютон был первым, кто применил в 1671 году слово spectrum (" спектр ") в качестве научного термина, для описания полосы цветов солнечного света. Это слово является вариантом латинского слова specter, означающего " образ " или " признак ". В своих "Принципах" Ньютон дал первую математическую трактовку периодичности волнового движения, которое экспериментально наблюдал Пифагор.

Решение волнового уравнения для колеблющейся музыкальной струны было получено в 1738 году Даниилом Бернулли, который исследовал общее решение для смещения u (x, t) струны в точке х в момент времени t (концевым точкам струны соответствуют x =0 и x =p). Это общее решение имеет вид:

где с - физическая количественная характеристика материала струны, определяющая скорость бегущих по струне волн.

В 1755 году Леонард Эйлер показал, что коэффициенты A _k и B _k этого ряда, впоследствии названного рядом Фурье, являются решениями следующих уравнений:

В 1882 году инженер Жан Батист Жозеф Фурье в своей диссертации "Аналитическая теория тепла" обобщил результаты, полученные для волнового уравнения, показав, что любую произвольную функцию u (x), даже обладающую конечным числом разрывов, можно представить в виде бесконечной суммы синусных и косинусных членов:

Раздел математики,устанавливающий соотношение между функцией u (x) и коэффициентами A _k и B _k, стали называть гармоническим анализом вследствие связи функции с синусными и косинусными членами этой суммы.

Начиная с середины с XIX века на основе гармонического анализа были разработаны практические методы изучения таких феноменологических данных как звук, погода, активность солнечных пятен, девиация магнитного компаса, течения рек и изменения высоты приливов. Во многих из этих явлений основной период был либо замаскирован шумом, либо необнаружим визуально. Кроме того, нередко присутствовали вторичные периодические компоненты, гармонически не связанные с основной периодической компонентой. Все это несколько затрудняло получение оценок различных периодичностей.

Ручное вычисление коэффициентов ряда Фурье с помощью прямых расчетов или графических методов оказалось исключительно трудоемким делом и, как правило, ограничивалось применением к очень небольшим совокупностям данных.

Для облегчения анализа были разработаны механические гармонические анализаторы. В основу этих счетных машин были положены механические интеграторы, или планиметры, поскольку они позволяют определять площадь области под кривыми вида u (x)sin kx и u (x)cos kx на интервале 0£ x £p, тем самым обеспечивая расчет коэффициентов ряда Фурье.

Английский физик Уильям Томсон (он же лорд Кельвин, именем которого названа абсолютная температурная шкала) создал первый механический гармонический анализатор, основанный на изобретенном его братом Джеймсом Томсоном планиметре, вычислявшем величину интеграла произведения двух функций.

Отличительная особенность гармонического анализатора Майкельсона-Стрэттона, в котором применялись спиральные пружины, состояла в том, что он мог не только одновременно обрабатывать 80 гармоник, но и выполнять роль синтезатора (вычислять обратное преобразование Фурье), поскольку позволял суммировать составляющие ряда Фурье. Майкельсон использовал эту счетную машину в своих оптических опытах, за которые впоследствии был удостоен Нобелевской премии.

Результаты гармонического анализа, получаемые в то время, иногда использовались для синтеза периодического колебания по гармоническим составляющим для целей предсказания (т.е. представления последовательности данных моделью в виде ряда Фурье). Одно из самых первых подобных применений связано с прогнозированием высоты приливов. Используя прямые ручные вычисления, Уильям Томсон выполнил гармонический анализ записей мареографа в портах Великобритании, начиная с записей 1866 года; к 1872 г. он разработал машину для прогноза высоты приливов, в которой использовались значения коэффициентов, определяемых с помощью его метода грмонического анализа. Устройство Томсона для прогноза высоты приливов представляло собой достаточно большую машину с размерами основания 0.9х1.8 м. Примерно за четыре часа работы она вычерчивала кривые высоты приливов на год вперед для одной морской гавани.

Во многих областях науки и техники перед исследователем возникает задача, как на основе данных, полученных на конечном интервале времени или пространства (в непрерывной или дискретной форме), сформировать максимально достоверное представление об исходном образе, с которым связаны эти данные, т.е. о его основных характеристиках.

История науки и ее многочисленные приложения дают нам много примеров использования оценки спектра для формирования представления о строении вещества (например, открытие Р.В.Бунзеном спектральной линии натрия), закономерностях явлений, происходящих на Солнце (на основе числа солнечных пятен), строения нефтеносных слоев, приложениях к медицинской диагностике (кардиограммы, электроэнцефалограммы), распознавании речи и изображений и т.д.

Спектральное оценивание вот уже в течение нескольких десятилетий относится к числу традиционных областей исследования статистиков. Появление же два десятилетия назад цифровых алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) значительно расширило роль спектрального оценивания и превратило его из из средства узкоспециализированных научных исследований в средство решения многих практических задач. Следствием этого явился тот всевозрастающий интерес, который проявляется специалистами по цифровой обработке сигналов к результатам исследований и приложениям многих методов спектрального оценивания.

Практика применения методов спектрального оценивания с использованием конечных наборов данных не составляет собой некую точную науку: она в значительной мере основывается на результатах экспериментов и обычно требует использования тех или иных конкретных компромиссов. Практика спектрального оценивания в большей мере базируется на некоем эмпирическом опыте, а не на солидной теоретической основе.

Короткая последовательность данных - это последовательность, при использовании которой требуемое спектральное разрешение имеет тот же порядок, что и величина, обратная длине этой последовательности.

Быстрый алгоритм - это некоторая неочевидная вычислительная процедура, которая в вычислительном отношении более эффективна, чем та или иная очевидная процедура.