V. п.3. Полное приращение и полный дифференциал ФНП

Полным приращением функции двух переменных z = f (x, y) в точке (x, y), вызванным приращениями аргументов и , называется выражение .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x, y), если бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое полное приращение функции.

Если обозначить – расстояние между близкими точками и (х, у), то – это определение непрерывности ФНП на языке приращений.

Если функция z = f (x, y) непрерывна в любой точке (х, у)Î D, то она называется непрерывной ФНП в области D.

Функция z = f (x, y), полное приращение Dz которой в данной точке (x,y) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно и , и величины, бесконечно малой более высокого порядка малости относительно , называется дифференцируемой ФНП в данной точке, а линейная часть ее полного приращения называется полным дифференциалом ФНП.

Если , где –бесконечно малые при , то полный дифференциал функции z = f (x, y) выражается формулой: , или:

(1)

(приращения независимых переменных совпадают с их дифференциалами: D х = dx, D y = dy).

Из определения полного дифференциала следует его связь с полным приращением: при малых и полное приращение функции D z примерно равно ее полному дифференциалу: с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости относительно .

Полный дифференциал функции z = f (x, y) зависит как от точки M (x ₀, y ₀), в которой он вычисляется, так и от приращений и .