XXV. п.9. Выборочный коэффициент корреляции

Измерение тесноты и направления связи является важной задачей изучения и количественного измерения взаимосвязи явлений.

Если известно (или предполагается), что между результативным и факторным признаками существует линейная связь, то для оценки ее тесноты используется выборочный коэффициент корреляции (или просто коэффициент корреляции). Он чаще всего рассчитывается по формуле:

. (25)

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от –1 до +1. Равенство коэффициента нулю свидетельствует об отсутствии линейной связи. Равенство коэффициента показывает наличие функциональной связи. Знак «+» указывает напрямую связь (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака), знак «–» – на обратную связь (увеличение или уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению изменением другого признака).

В зависимости от того, насколько приближается к 1, различают линейную связь слабую – , умеренную – , заметную – , достаточно тесную – и весьма тесную – .

В отличие от коэффициента регрессии коэффициент корреляции не зависит от принятых единиц измерения признаков, а, следовательно, он сравним для любых признаков.

Как любая статистическая величина, коэффициент корреляции подвержен случайным колебаниям в результате выборочности исследования.

Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется -критерий Стьюдента. При этом определяется эмпирическое значение критерия :

. (26)

Вычисленное по формуле (27) значение сравнивается с критическим, которое берется из таблицы значений распределения Стьюдента с учетом заданного уровня значимости () и числа степеней свободы .

Если , то величина коэффициента корреляции признается значимой.

Задача 8. Имеются следующие данные об уровне механизации работ (%) и производительности труда (т/чел.) для 14 однотипных предприятий:

№ п/п

№ п/п

Требуется: 1) оценить тесноту и направление связи между признаками с помощью коэффициента корреляции и оценить значимость коэффициента корреляции на уровне значимости ; 2) найти уравнение линейной регрессии на ; 3) в одной системе координат построить эмпирическую и теоретическую линии регрессии.

Решение.

1. Для удобства проведем все необходимые предварительные расчеты в таблице.

Таблица 1

Расчетная таблица

№ п/п
Всего

Рассчитаем числовые характеристики выборки, используя итоговую строку расчетной таблицы и учитывая, что объем выборки :

· выборочные средние:

;

;

· средние по квадратам:

;

;

· средняя по произведениям:

;

· выборочные средние квадратические отклонения:

; ;

; .

Вычислим выборочный коэффициент корреляции по формуле (26):

.

Т.к. и , то, следовательно, линейная связь между изучаемыми признаками является прямой и весьма тесной.

Оценим значимость выборочного коэффициента корреляции. Для этого рассчитаем эмпирическое значение -критерия по формуле (26):

.

Для уровня значимости и числа степеней свободы находим критическое значение -критерия: по таблице значений распределения Стьюдента. Поскольку , то коэффициент корреляции между признаками и является значимым (или значимо отличается от нуля).

2. Найдем уравнение линейной регрессии на : , вычислив параметры уравнения регрессии по формулам (23) и (24):

;

.

Следовательно, уравнение прямой регрессии имеет вид:

.

3) Построим в одной системе координат эмпирическую и теоретическую линии регрессии. Эмпирическая линия – это ломаная, соединяющая точки с координатами , а теоретическая – это график прямой регрессии, уравнение которой было получено в п. 2. Теоретическую линию регрессии можно построить по двум точкам, абсциссы которых выбираются произвольно, а ординаты находятся по построенному уравнению регрессии. Найдем координаты точек для построения теоретической линии регрессии: , тогда ; , . Значит, теоретическую линию регрессии будем строить по двум точкам с координатами и .

Рис. 2. Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Ответ: 1) , линейная связь прямая, весьма тесная, коэффициент корреляции значим на уровне значимости ; 2) выборочное уравнение прямой регрессии ; 3) линии регрессии представлены на рис. 2.