Нормальный закон распределения

Определение 3. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

,

где m = M (X), σ ²= D (X), σ > 0.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 6.7).

Рис. 6.7

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m, имеет максимум в точке х = m, равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:

,

Ф(x) – функция Лапласа.

Замечание. Функция Ф(х) является нечетной (Ф(- х) = -Ф(х)), кроме того, при х > 5 можно считать Ф(х) ≈ 1/2.

Таблица значений функции Ф(х) приведена в приложении (табл. П 2.2).

График функции распределения F (x) изображен на рис. 6.8.

Рис. 6.8

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b) вычисляются по формуле:

Р (a < Х < b) = .

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

P (| X - m| .

В частности, при m =0 справедливо равенство:

P (| X | .

"Правило трех сигм"

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (m 3σ; m + 3σ), так как P (| X - m| = 0,9973.

Задача 6.3. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а) плотность распределения вероятностей f (x); б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (28;38).

Решение: По условию m = 32, σ² = 16, следовательно, σ= 4, тогда

а)

б) Воспользуемся формулой:

Р (a< Х <b) = .

Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ= 4, получим

Р (28 < Х < 38) = Ф(1,5) Ф(1)

По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P (28<X<38)= 0,4332+0,3413=0,7745.

Задачи

6.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

а) плотность распределения f (x);

б) функции распределения F (x);

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (4< х <6).

6.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [2;7]. Найдите:

а) плотность распределения f (x);

б) функцию распределения F (x);

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (3≤ х ≤6).

6.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды - желтый и 30 секунд - красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

6.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

6.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

F

6.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

f

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F (x) и числовые характеристики случайной величины Х.

6.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

f

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (2,5;5).

6.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

F

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка [2;5].

6.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f (x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

6.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f (x);

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка [3,1; 3,7].

6.11. Случайная величина Х распределена нормально с M (X) = 0 и D (X) = 1. Какое из событий: | Х |≤0,6 или | Х |≥0,6 имеет большую вероятность?

6.12. Случайная величина Х распределена нормально с M (X) = 0 и D (X) = 1.Из какого интервала (-0,5; -0,1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

6.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M (X) = 10 ден. ед. и σ(Х) = 0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б) с помощью "правила трех сигм" найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

6.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ= 5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не превзойдет по абсолютной величине 3 г.

6.15. Случайная величина Х распределена нормально с M (X)= 12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4; 13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

6.16. Случайная величина Х распределена нормально с M (X) = 12 и D (X) = 36. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х.

6.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M (X) = 0 и σ(Х) = 0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1 % номинала.

Ответы

6.1.

a) б)

в) M (X)=1, D (X)=16/3, σ(Х)= 4/ , г)1/8.

6.2.

 

а) б)

 

в) M (X)=4,5, D (X) =2 , σ (Х)= , г)3/5.

 

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M (X)=1.

 

6.5. D (X) = 1/64, σ (Х)=1/8

6.6. M (X)=1 , D (X) =2 , σ (Х)= 1 .

 

6.7. Р(2,5< Х <5)= е ^-1 е ^-2≈0,2325 6.8. Р(2≤ Х ≤5)=0,252.

 

6.9.

а) ,

б) Р (10 < Х < 14) ≈ 0,1574.

6.10.

а) ,

б) Р (3,1 ≤ Х ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

 

6.11. | x |≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

 

6.13. а) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

б) (9,1; 10,9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

6.18. 0,8472.