Вопросы и упражнения. 1. Каковы основные положения термодинамического и моле кул ярно-кинетического (статистического) методов изучения макроскопических систем

1.Каковы основные положения термодинамического и моле кул ярно-кинетического (статистического) методов изучения макроскопических систем? Назовите основные параметры термодинамической системы. Дайте определение единицы термодинамической температуры.

2.Запишите уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона). Каковы физический смысл, размерность и численное значение универсальной газовой постоянной R? Сформулируйте газовые законы.

3.Дайте определение единицы вещества 1 моль. Сколько молекул содержится в моле любого вещества? Как можно рассчитать линейные размеры одной молекулы?

4.На чем основан вывод уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов для давления? Сравните это уравнение с уравнением Менделеева—Клапейрона.

5.Получите соотношения р = nkT и <W> = 3/2 kT. Каковы физический смысл, численное значение и единицы измерения постоянной Больцмана k?

6.Каково содержание одного из основных положений статистической физики о равнораспределении энергии по степеням свободы? Считая, что средняя энергия молекулы идеального газа <W> = ikT/2, где i – сумма поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы, получите выражение для внутренней энергии произвольной массы идеального газа:

7.При каких условиях выполняется закон распределения молекул газа по скоростям? Напишите аналитическое выражение этого закона иизобразите его графически.

8.Получите соотношения для следующих скоростей молекул: а) наиболее вероятной vв, б) средней арифметической <v>; в) средней квадратичной

9.Проанализируйте выражение зависимости атмосферного давления от высоты (барометрическая формула): , где m0gh – потенциальная энергия молекулы газа на высоте h, считая температуру постоянной.

10.Исходя из барометрической формулы, получите выражение Сформулируйте закон распределения Больцмана.

11.Что называется эффективным диаметром молекулы d? Объясните выражения: а) среднее число соударений молекул газа в единице объема за единицу времени: ; б) средняя длина пробега молекулы газа: λ = 1/(2πd²n), где n – концентрация молекулы.

12.Каковы закономерности явлений переноса в газах? Получите: а) выражение для динамической вязкости (ρ – плотность газа); б) выражение для теплопроводности (CV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме); выражение для коэффициента диффузии .

ЗАДАЧИ

8.1.Плотность некоторого газа при температуре t = 14° С и давлении р = 4·10⁵ Па равна 0,68 кг/м³. Определить молярную массу М этого газа.

8.2.В баллоне объемом V = 20 л находится газ под массой m = 6 г при температуре Т = 300 К. Найти плотность ρ и давление р водорода.

8.3.Определить наименьший объем Vmin баллона, вмещающего m = 6кг кислорода, если его стенки при температуре t = 27° С выдерживают давление р = 15 МПа.

8.4.В сосуде А объемом V1 = 2 л находится газ под давлением р1 = 3·10⁵ Па, а в сосуде В объемом V2 = 4 л находится тот же газ под давлением Р2 = 1·10⁵ Па. Температура обоих сосудов одинакова и постоянна. Под каким давлением р будет находиться газ после соединения сосудов А и В трубкой. Объемом соединительной трубки пренебречь.

8.5.В баллоне находится m1 = 8 г водорода и m2 = 12 г азота при температуре t = 17° С и под давлением р = 1,8·10⁵ Па. Определить молярную массу М смеси и объем V баллона.

8.6.Определить удельный объем V0 смеси углекислого газа массой m1 = 10 г и азота массой m2 = 15 г при давлении р = 0,15 МПа и температуре Т = 300 К.

8.7.Определить концентрацию n молекул кислорода и его плотность ρ при давлении р = 5 нПа и температуре t = 20 °С.

8.8.Определить плотность ρ водорода и концентрацию n его молекул при температуре t = 17°С и давлении р = 0,29 МПа.

8.9.Молекулярный пучок падает перпендикулярно на стенку, от которой молекулы отражаются по закону абсолютно упругого удара. Концентрация молекул в пучке n, масса молекулы m0, скорость каждой молекулы v. Найти давление р, испытываемое стенкой, если: а) стенка неподвижна; б) стенка движется в направлении своей нормали со скоростью u.

8.10.Молекулярный пучок падает на стенку под углом α к ее нормали. Концентрация молекул в пучке n, масса каждой молекулы m0, скорость молекулы v. Молекулы отражаются от стенки по закону абсолютно упругого удара. Найти давление р, испытываемое стенкой, если: а) стенка неподвижна; б) стенка движется в направлении своей нормали со скоростью u.

8.11.В сосуде находится m1 = 3,2·10^-12 кг кислорода m2 = 2,8·10^-10 кг азота. Температура смеси Т = 300 К. Давление в сосуде р = 0,15 Па. Определить объем V сосуда и концентрацию n молекул смеси в нем.

8.12.Найти давление р смеси газа в сосуде объемом V = 5 л,если в нем находится N1 = 2·10¹⁵ молекул кислорода, N2 = 8·10¹⁵ молекул азота и m = 1,0 нкг аргона. Температура смеси t = 17° С.

8.13.В сосуде находится m1 = 2 г водорода и т2 = 12 г азота при температуре t = 17 °С и давлении р = 0,18 МПа. Найти концентрацию п1 молекул водорода в смеси.

8.14.Определить концентрации n1 и n2 неона и аргона, если при давлении р = 0,16 МПа и температуре t = 47 °С плотность их смеси ρ = 2,0 кг/м³.

8.15.В сосуде объемом V = 1 л находится m = 2 г парообразного йода при температуре Т = 1200 К. Давление в сосуде р = 90 кПа. Найти степень диссоциации α молекул йода.

8.16.Вычислить среднюю квадратичной скорость молекул воздуха при температуре t = 17 °С. Воздух считать идеальным газом.

8.17.Плотность некоторого газа ρ = 3·10^-2 кг/м³. Найти давление р газа, которое он оказывает на стенки сосуда, если средняя квадратичная скорость молекул газа равна 500 м/с.

8.18.Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 450 м/с. Давление газа р = 25 кПа. Найти удельный объем V газа при этих условиях.

8.19.Найти отношение η средних квадратичных скоростей молекул водорода и кислорода при одинаковых температурах.

8.20.Вычислить среднюю квадратичную скорость и среднюю энергию атома гелия <W> при температуре Т = 300 К.

8.21.Вычислить среднюю кинетическую энергию поступательного движения <W>пост и полную среднюю кинетическую энергию <W> молекулы азота при температуре Т = 300 К. Молекулу азота считать жесткой.

8.22.Вычислить энергию теплового движения U молекул двухатомного газа, занимающего объем V = 2,5 л при давлении р = 20 Па. Молекулы газа считать жесткими.

8.23.При какой температуре Т средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия окажется достаточной для того, чтобы атомы гелия навсегда покинули атмосферу Земли?

8.24.Вычислить среднюю энергию поступательного <W>пост вращательного <Wвр> и колебательного <Wкол> движений двухатомной молекулы газа при температуре T = 3·10³ К.

8.25.Определить отношение η средней квадратичной скорости молекулы газа к скорости распространения звука в нем при одной и той же температуре. Газ взять двухатомный, молекулы газа считать жесткими.

8.26.Найти относительное число молекул Δn/n, скорости которых отличаются от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температурах газа: а) Т1 = 300 К; б) Т2 = 600 К.

8.27.Найти относительное число молекул Δn/n гелия, скорости которых лежат в интервале от v1 = 990 м/с до v2 = 1010 м/с при температурах: а) Т1 = 300 К; б) Т2 = 600 К.

8.28.Найти относительное число молекул Δn/n гелия, скорости которых лежат в интервале от v1 = 1990 м/с до v2 = 2010 м/с при температурах: а) Т1 = 300 К; б) Т2 = 600 К.

8.29.Найти отношение η числа молекул гелия, движущихся со скоростями в интервале от v1 = 2000 м/с до v2 = 2010 м/с, к числу молекул, скорости которых лежат в интервале от v3 = 1000 м/с до v4 = 1010 м/с. Температура гелия Т = 600 К.

8.30.Какая часть Δn/n молекул азота при температуре t = 230 С обладает скоростями в интервале: а) от v1 = 290 м/с до v2 = 310 м/с; б) от v3 = 690 м/с до v4 = 710 м/с.

8.31.При какой температуре Т наиболее вероятная скорость молекул азота меньше их средней квадратичной скорости на 50 м/с?

8.32.Найти относительное число молекул Δn/n газа, скорости которых отличаются не более чем на одну сотую от: а) наиболее вероятной скорости; б) средней арифметической скорости; в) средней квадратичной скорости.

8.33.На какой высоте h давление воздуха составляет 80 % давления на уровне моря? Температуру считать постоянной по высоте и равной t = 7° С.

8.34.Давление воздуха у поверхности Земли р = 100 кПа. Считая температуру воздуха постоянной и равной Т = 270 К, определить концентрацию молекул n воздуха: а) у поверхности Земли; б) на высоте h = 8 км.

8.35.На какой высоте h концентрация молекул водорода составляет 50 % концентрации на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 273 К. Ускорение свободного падения постоянно и равно 9,8 м/с².

8.36.В кабине вертолета барометр показывает давление p1 = 86 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если у поверхности Земли давление равно р2 = 0,10 МПа. Считать, что температура воздуха постоянна и равна 280 К.

8.37.На какой высоте h содержание водорода в воздухе по сравнению с содержанием углекислого газа увеличится вдвое? Среднюю по высоте температуру воздуха считать Т = 300 К.

8.38.Определить число молекул в единице объема n воздуха на высоте h = 2 км над уровнем моря. Температуру считать постоянной и равной 10 °С. Давление на уровне моря р0 = 101 кПа.

8.39.Для вычисления числа Авогадро NA. Перрен определял с помощью микроскопа распределение по высоте шарообразных частиц гуммигута, взвешенных в воде. Он нашел, что отношение числа частиц в слоях, отстоящих друг от друга на расстояние l = 38 мкм, равно α = 2,08. Плотность гуммигута ρ = 1,2·10³ кг/м³, радиусы его частиц R = 0,212 мкм. Температура воды t = 18 °С. Используя эти данные, найти число Авогадро.

8.40.Найти, на какой высоте hc находится центр тяжести вертикального цилиндрического столба воздуха. Температуру Т, молярную массу М и ускорение свободного падения g считать известными и не зависящими от h.

8.41.Найти среднюю длину свободного пробега λср молекул воздуха при температуре Т = 300 К и давлении р = 0,15 МПа. Эффективный диаметр молекулы воздуха dэф = 0,30 нм.

8.42.Найти среднюю продолжительность τ свободного пробега молекул кислорода при температуре Т = 300 К и давлении р = 150 Па. Эффективный диаметр молекулы кислорода dэф = 0,27 нм.

8.43.Определить концентрацию n молекул водорода, при которой среднее расстояние между молекулами в сто раз меньше длины свободного пробега молекул. Эффективный диаметр молекулы водорода dэф = 0,23 нм.

8.44.Средняя длина свободного пробега электрона в газе приблизительно в 5,7 раз больше, чем средняя длина свободного пробега молекул газа. Найти среднюю длину пробега <λЭЛ> электронов в разрядной трубке, содержащей водород при температуре t = 127° С и давлении р =1,2 Па. Эффективный диаметр молекулы водорода dэф = 0,23 нм.

8.45.Расстояние между стенками дьюаровского сосуда l = 10 мм. Оценить, при каком давлении р теплопроводность воздуха, находящегося между стенками сосуда, начнет уменьшаться при его откачке? Температура воздуха t = 20 °С. Эффективный диаметр молекулы воздуха dэф = 0,30 нм.

8.46.Динамическая вязкость аргона при нормальных условиях η = 22 мкПа·с. Вычислить длину свободного пробега λ молекулы аргона и коэффициент диффузии D аргона при нормальных условиях.

8.47.Между двумя пластинами, расположенными на расстоянии l = 2 мм друг от друга, находится воздух при нормальных условиях. Между пластинами поддерживается разность температур ΔT = 20 К. Площадь каждой пластины S = 150 см². Найти количество теплоты Q, передаваемое от одной пластины к другой за τ = 0,5 ч. Эффективный диаметр молекулы воздуха d = 0,30 нм.

8.48.Кислород и углекислый газ находятся при одинаковых температуре и давлении. Эффективные диаметры молекул этих газов соответственно равны 0,35 нм и 0,40 нм. Найти для этих газов отношения: а) коэффициентов диффузии D1/D2; б) коэффициентов внутреннего трения η1/η2.

8.49.Относительное число молекул газа, длина свободного пробега которых лежит в пределах от l до l + dl, определяется по формуле Δn/n = Ае^-1/λdl, где А – постоянный коэффициент (нормирующий множитель). Найти относительное число Δn/n молекул газа, длина свободного пробега которых больше, чем 5λ.

8.50.Два однородных диска каждый радиусом R = 0,3 м расположены друг над другом так, что их оси совпадают. Верхний диск неподвижен, а нижний вращается с угловой скоростью ω = 126 рад/с. Расстояние между плоскостями дисков l = 5 мм. Динамическая вязкость воздуха η = 17 мкПа·с. Найти момент сил трения М, действующий на верхний диск. Краевыми эффектами пренебречь.

Задание 9. ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ