В примесном полупроводнике имеются основные и неосновные носители заряда. Для полупроводника n-типа (электронного) основными являются электроны, а дырки – неосновными. Для полупроводника р-типа ( дырочного) основными являются дырки, электроны – неосновными.
В полупроводнике равновесная концентрация электронов в зоне проводимости определяется выражением (4.99), а дырок в валентной зоне – (4.101). Перемножив эти выражения, получим
. (4.117)
Обозначим концентрации: электронов (основных носителей) и дырок (неосновных носителей) в полупроводнике n-типа; дырок (основных носителей) и электронов (неосновных носителей) в полупроводнике р-типа. Тогда соотношение (4.117) можно переписать в следующем виде
. (4.118)
Соотношение (4.134) называется законом действующих масс: для данной температуры произведение равновесных концентраций основных и неосновных носителей заряда есть величина постоянная и равная квадрату концентрации собственных носителей.
Выражение (4.134) обычно используют для определения концентрации неосновных носителей заряда.
|
|
Вырожденные полупроводники. Степень вырожденности полупроводника определяется положением уровня Ферми. Для ее оценки удобно пользоваться величиной приведенного уровня Ферми.
Концентрацию электронов в зоне проводимости, используя (4.76) и безразмерные параметры
, (4.119)
можно представить в виде
, (4.120)
где
(4.121)
называется интегралом Ферми.
Величина называется приведенным уровнем Ферми.
При интеграл Ферми можно аппроксимировать выражением
, (4.122)
что соответствует статистике Больцмана, и, следовательно, полупроводник является невырожденным.
Условие отвечает случаю полного вырождения полупроводника. Интеграл Ферми при этом может быть аппроксимирован функцией
(4.123)
и равновесная концентрация электронов в вырожденном донорном полупроводнике определяется из (4.120)
, (4.124)
где – уровень Ферми при абсолютном нуле.
При условии полупроводник считается слабо вырожденным.
Контрольные вопросы и задачи
1. В чем суть адиабатического и одноэлектронного приближения при решении уравнения Шредингера для электронов в кристалле?
2. Что такое идеальная кристаллическая решетка и как она влияет на движение электрона в кристалле?
3. В чем сущность модели Кронига-Пенни?
4. Что такое зона Бриллюэна?
5. Чем определяется число уровней в энергетической зоне?
6. Эффективная масса электрона в кристалле и ее физическая суть.
7. Что такое дырка с точки зрения зонной теории?
8. Понятие полупроводника, металла и диэлектрика в зонной теории.
9. Что такое водородоподобная модель примесного состояния?
|
|
10. Как возникают уровни Тамма?
11. Что собой представляют экситоны?
12. Что такое энергия Ферми и как она зависит от концентрации электронов в металле?
13. Рассчитайте энергию Ферми при для натрия и лития (допуская, что ).
14. Определить температуру Ферми и фермиевскую скорость электронов для меди, которая является одновалентным металлом (предполагая, что ).
15. В полупроводнике ZnSb ширина запрещенной зоны . Найти:
– энергию ионизации доноров;
– радиус орбиты электрона в основном состоянии;
– при какой минимальной концентрации доноров станут заметны эффекты, связанные с перекрытием орбит соседних примесных атомов?
Литература к главе
1. Фридрихов, С.Ф. Физические основы электронной техники [Текст]: учеб. / С.Ф. Фридрихов, С.М. Мовнин. – М.: Высш. школа, 1982. – 608 с.
2. Епифанов, Г.И. Физика твердого тела [Текст]: учеб. пособие / Г.И.Епифанов. – М.: Высш. школа, 1977. – 288 с.
3. Шалимова, К.В. Физика полупроводников [Текст]: учеб. пособие / К.В.Шалимова. – М.: Энергия, 1971. – 312 с.
4. Черняков, Е.І. Фізика твердого тіла [Текст]: навч. посібник/ Е.І. Черняков, О.С.Замковий, Г.Г.Канарик. – Харків: Колегіум, 2006. – 264 с.
5. Гуртов, В.А. Физика твердого тела для инженеров [Текст]: учеб. пособие / В.А. Гуртов, Р.Н. Осауленко. – М.: Техносфера, 2007. – 520 с.
Содержание гл 4
1. Общие сведения об электрических свойствах твердых тел
2. Уравнение Шредингера для кристалла
3. Модель Кронига-Пенни
4. Метод сильной связи
5. Эффективная масса электрона в кристалле
6. Диэлектрики, полупроводники и металлы в зонной теории
7. Энергетические состояния в несовершенных кристаллах
8. Плотность энергетических состояний и распределение электронов по энергиям
9. Энергия Ферми и концентрация электронов в металле
10. Эффективная масса для плотности состояний
11. Уровень Ферми и концентрация носителей в собственных полупроводниках
12. Уровень Ферми и концентрация носителей в примесных полупроводниках
13. Закон действующих масс
Георг Симон Ом (нем. Georg Simon Ohm; 1787 – 1854) – знаменитый немецкий физик. Установил основной закон электрической цепи (закон Ома). Труды по акустике, кристаллооптике.
[1] Джеймс Прескотт Джоуль (англ. James Prescott Joule; 1818- 1889) – английский физик. Джоуль изучал природу тепла и обнаружил её связь с механической работой, открыл связь между током, текущим через проводник с определённым сопротивлением, и выделяющимся при этом теплом (закон Джоуля).
[1] Эмилий Христианович Ленц (нем. Heinrich Friedrich Emil Lenz; 1804 – 1865) – знаменитый русский физик. Главнейшие результаты его исследований: закон индукции (правило Ленца), закон Джоуля-Ленца, опыты, подтверждающие явление Пельтье.
[1]Матиссен Огастес (1831–1870) – английский физик.
[1] Уильям Роуэн Гамильтон (англ. William Rowan Hamilton; 1805 –1865) – выдающийся ирландский математик и физик XIX века. Оба главных открытия Гамильтона – новая формулировка механики и кватернионы –сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики.
[1] Феликс Блох (нем. Felix Bloch; 1905 –1983) – швейцарский физик, работавший главным образом в США. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1952 год (совместно с Эдвардом Пёрселлом). Работы посвящены физике твердого тела, магнетизму, квантовой электродинамике, сверхпроводимости, ядерной физике. Заложил (совместно с Л. Бриллюэном) основы зонной теории твердых тел (1928) и низкотемпературного ферромагнетизма. Известен также формулой Бете – Блоха для тормозной способности, теоремой Блоха в теории сверхпроводимости, теоремой Блоха–Нордсека в квантовой электродинамике, уравнениями Блоха, описывающими ядерный магнитный резонанс.
[1] Ральф Крониг (нидерл. Ralph Kronig; 1904–1995) – нидерландский физик-теоретик, член Нидерландской АН. Работы относятся к спектроскопии, теории молекулярных структур, теории валентности, квантовой механике, ядерной физике, физике твердого тела.
|
|
[1] Пенни Уильям Джордж (англ. Penney William George, 1909–1991) – английский математик и физик, руководитель британской программы создания атомной бомбы.
[1] Де Бройль Луи (фр. Louis-Victor-Pierre-Raymond, 1892–1987) – французский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. За открытие волновой природы электрона получил Нобелевскую премию за 1929 г. Занимался вопросами радиофизики, классической и квантовой теориями поля, термодинамики и других разделов физики.
[1] Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 1643 –1727) – английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
[1] Брук Тейлор (англ. Brook Taylor, 1685–1731) – английский математик, именем которого называется найденная им известная формула, выражающая приращение функции в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням приращения независимой переменной.
[1] Игорь Евгеньевич Тамм (1895– 1971) – советский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с П.А. Черенковым и И.М. Франком, 1958). Основные работы в области квантовой механики, физики твёрдого тела, теории излучения, ядерной физики, физики элементарных частиц.
[1] Уильям Бредфорд Шокли (англ. William Bradford Shockley; 1910 – 1989) –американский физик английского происхождения. Работы по физике твердого тела и полупроводников, по теории дислокаций и ферромагнетизма. Шокли построил теорию p-n-перехода и предложил p-n-p-транзистор, разработал метод определения эффективной массы носителей заряда. В 1956 «за исследования полупроводников и открытие транзисторного эффекта» Шокли совместно с Джоном Бардином и Уолтером Браттейном был удостоен Нобелевской премии по физике.
[1] Ванье Грегори Хуг ( Wannier Gregory Hugh,1911–1983) – швейцарский физик-теоретик. Работы посвящены теории твердого тела, магнетизму, статистической механике, разрядам в газах, электронной физике. Исследовал молекулярные и кристаллические структуры, локализацию электронов в твердом теле, фазовые переходы. Заложил основы теории экситонов.
|
|
[1] Невилл Франсис Мотт (сэр) (англ. Sir Nevill Francis Mott; 1905–1996) – английский физик, лауреат Нобелевской премии по физике в 1977 г., совместно с Филипом Андерсоном и Джоном ван Флеком, «за фундаментальные теоретические исследования электронной структуры магнитных и неупорядоченных систем». Дал теоретическое объяснение воздействия света на фотоэмульсию, перехода вещества из металлического в неметаллическое состояние. Его именем названо понятие диэлектрик Мотта.
Согласно постулатам Бора энергетические уровни для электронов в изолированном атоме имеют дискретные значения. Твердое тело представляет собой ансамбль отдельных атомов, химическая связь между которыми объединяет их в кристаллическую решетку. Если твердое тело состоит из N атомов, то энергетические уровни оказываются N-кратно вырожденными. Электрическое поле ядер, или остовов атомов, выступает как возмущение, снимающее это вырождение. Дискретные энергетические уровни атомов, образующих твердое тело, под действием возмущающего действия полей окружающих атомов расщепляются в энергетические зоны. Решение уравнения Шредингера в приближении сильной или слабой связи дает качественно одну и ту же картину для структуры энергетических зон твердых тел. В обоих случаях разрешенные и запрещенные состояния для электронов чередуются и число состояний для электронов в разрешенных зонах равно числу атомов, что позволяет говорить о квазинепрерывном распределении энергетических уровней внутри разрешенных зон [35, 82, 83].
Наибольшее значение для электронных свойств твердых тел имеют верхняя и следующая за ней разрешенные зоны энергий. В том случае, если между ними нет энергетического зазора, то твердое тело с такой зонной структурой является металлом. Если величина энергетической щели между этими зонами (обычно называемой запрещенной зоной) больше 3 эВ, то твердое тело является диэлектриком. И, наконец, если ширина запрещенной зоны Eg лежит в диапазоне (0,1 ÷ 3,0) эВ, то твердое тело принадлежит к классу полупроводников. В зависимости от сорта атомов, составляющих твердое тело, и конфигурации орбит валентных электронов реализуется тот или иной тип
кристаллической решетки, а следовательно, и структура энергетических зон.
Поскольку в полупроводниках ширина запрещенной зоны меняется в широком диапазоне, то вследствие этого в значительной мере меняется их
удельная проводимость. По этой причине полупроводники классифицируют
как вещества, имеющие при комнатной температуре удельную электрическую проводимость σ от 10-8 до 106 Ом-1 ⋅см-1, которая зависит в сильной степени от вида и количества примесей, структуры вещества и внешних условий: температуры, освещения (радиации), электрических и магнитных полей и т.д.
Для диэлектриков ширина запрещенной зоны Еg > 3 эВ, величина удельной проводимости σ < 10-8 Ом-1⋅см-1, удельное сопротивление ρ = 1/σ > 108 Ом·см. Для металлов величина удельной проводимости σ > 106 Ом-1⋅см-1.
[1] Георг Симон Ом (нем. Georg Simon Ohm; 1787 – 1854) – знаменитый немецкий физик. Установил основной закон электрической цепи (закон Ома). Труды по акустике, кристаллооптике.
[2] Джеймс Прескотт Джоуль (англ. James Prescott Joule; 1818- 1889) – английский физик. Джоуль изучал природу тепла и обнаружил её связь с механической работой, открыл связь между током, текущим через проводник с определённым сопротивлением, и выделяющимся при этом теплом (закон Джоуля).
[3] Эмилий Христианович Ленц (нем. Heinrich Friedrich Emil Lenz; 1804 – 1865) – знаменитый русский физик. Главнейшие результаты его исследований: закон индукции (правило Ленца), закон Джоуля-Ленца, опыты, подтверждающие явление Пельтье.
[4]Матиссен Огастес (1831–1870) – английский физик.
[5] Уильям Роуэн Гамильтон (англ. William Rowan Hamilton; 1805 –1865) – выдающийся ирландский математик и физик XIX века. Оба главных открытия Гамильтона – новая формулировка механики и кватернионы –сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики.
[6] Феликс Блох (нем. Felix Bloch; 1905 –1983) – швейцарский физик, работавший главным образом в США. Лауреат Нобелевской премии по физике за 1952 год (совместно с Эдвардом Пёрселлом). Работы посвящены физике твердого тела, магнетизму, квантовой электродинамике, сверхпроводимости, ядерной физике. Заложил (совместно с Л. Бриллюэном) основы зонной теории твердых тел (1928) и низкотемпературного ферромагнетизма. Известен также формулой Бете – Блоха для тормозной способности, теоремой Блоха в теории сверхпроводимости, теоремой Блоха–Нордсека в квантовой электродинамике, уравнениями Блоха, описывающими ядерный магнитный резонанс.
[7] Ральф Крониг (нидерл. Ralph Kronig; 1904–1995) – нидерландский физик-теоретик, член Нидерландской АН. Работы относятся к спектроскопии, теории молекулярных структур, теории валентности, квантовой механике, ядерной физике, физике твердого тела.
[8] Пенни Уильям Джордж (англ. Penney William George, 1909–1991) – английский математик и физик, руководитель британской программы создания атомной бомбы.
[9] Де Бройль Луи (фр. Louis-Victor-Pierre-Raymond, 1892–1987) – французский физик-теоретик, один из основателей квантовой механики. За открытие волновой природы электрона получил Нобелевскую премию за 1929 г. Занимался вопросами радиофизики, классической и квантовой теориями поля, термодинамики и других разделов физики.
[10] Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 1643 –1727) – английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цвета и многие другие математические и физические теории.
[11] Брук Тейлор (англ. Brook Taylor, 1685–1731) – английский математик, именем которого называется найденная им известная формула, выражающая приращение функции в виде ряда, расположенного по возрастающим степеням приращения независимой переменной.
[12] Игорь Евгеньевич Тамм (1895– 1971) – советский физик-теоретик, лауреат Нобелевской премии по физике (совместно с П.А. Черенковым и И.М. Франком, 1958). Основные работы в области квантовой механики, физики твёрдого тела, теории излучения, ядерной физики, физики элементарных частиц.
[13] Уильям Бредфорд Шокли (англ. William Bradford Shockley; 1910 – 1989) –американский физик английского происхождения. Работы по физике твердого тела и полупроводников, по теории дислокаций и ферромагнетизма. Шокли построил теорию p-n-перехода и предложил p-n-p-транзистор, разработал метод определения эффективной массы носителей заряда. В 1956 «за исследования полупроводников и открытие транзисторного эффекта» Шокли совместно с Джоном Бардином и Уолтером Браттейном был удостоен Нобелевской премии по физике.
[14] Ванье Грегори Хуг ( Wannier Gregory Hugh,1911–1983) – швейцарский физик-теоретик. Работы посвящены теории твердого тела, магнетизму, статистической механике, разрядам в газах, электронной физике. Исследовал молекулярные и кристаллические структуры, локализацию электронов в твердом теле, фазовые переходы. Заложил основы теории экситонов.
[15] Невилл Франсис Мотт (сэр) (англ. Sir Nevill Francis Mott; 1905–1996) – английский физик, лауреат Нобелевской премии по физике в 1977 г., совместно с Филипом Андерсоном и Джоном ван Флеком, «за фундаментальные теоретические исследования электронной структуры магнитных и неупорядоченных систем». Дал теоретическое объяснение воздействия света на фотоэмульсию, перехода вещества из металлического в неметаллическое состояние. Его именем названо понятие диэлектрик Мотта.