Лекция 2. Определитель квадратной матрицы. Свойства определителей

Мы будем рассматривать только определители 2-го и 3-го порядков. Поэтому полное определение определителя (детерминанта) n-го порядка не дается. Допустимые обозначение определителя матрицы A: Δ(A) или det A или |A|. Мы будем использовать Δ(A) или просто Δ для сокращения записи.

2.1. Определители 2-го и 3-го порядков

1) Для матрицы второго порядка

Определение 1. Определителем 2-го порядка называется число

Пример:

2) Для матрицы третьего порядка A = введем новые понятия.

Определение 2. Минором элемента называется определитель , составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы A i –той строки и k-того столбца.

Определение 3. Алгебраическим дополнением элемента называется число

Определение 4. Определителем 3-го порядка называется сумма произведений первой строки на их алгебраические дополнения.

Пример: вычислить определитель матрицы A =

1) Миноры: M₁₁ = = 7 M₁₂ = = 35 M₁₃ = = -7

2) Алгебраические дополнения:

В дальнейшем будем считать сразу:

3) Определитель: ∆(A) = 3·7 + (-2)·(-35) + 4·(-7) = 21 + 70 – 28 = 63

2.2. Свойства определителей

Изложенные ниже свойства справедливы для любого n порядка. Свойства приводятся без доказательств.

Определитель не меняется при транспонировании, т.е. ;

Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак;

Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю;

Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;

Если в определителе две строки (два столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю;

;

Определитель не поменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;

Сумма произведений элементов любой строки на свои алгебраические дополнения равна самому определителю. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю;

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали

2.3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу . Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n.

Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Ранг матрицы А обозначается через r (A).

Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Очевидно, что выполняется соотношение

Например, для матрицы ранг матрицы равен 2 (количество строк).