Предел числовой последовательности и функции

Если каждому натуральному числу по некоторому правилу поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Кратко обозначают . Число называется общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.

Число называется пределом последовательности , и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .

Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется бесконечно малой, если . Последовательность называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности) и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Рассматривают также односторонние пределы функций: , , , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):

1) Если - постоянная величина, то .

2) Если существуют конечные пределы , , то:

а) ; б) ;

в) ; г) , если .

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .

Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если , то ,если , то

2) Если и , то .

3) Если и , то .

4) Если и , то .

5) Если и , то .

6) Если и , то .

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

В задачах 4.85-4.88, используя определение предела, доказать, что и найти номер такой, что для всех :

4.85 , .

4.86 , .

4.87 , .

4.88 , .

В задачах 4.89-4.111 найти пределы последовательностей:

4.89 4.90 4.91

4.92 . 4.93 . 4.94 .

4.95 . 4.96 .

4.97 . 4.98 .

4.99 . 4.100 .

4.101 . 4.102 . 4.103 .

4.104 . 4.105 .

4.106 . 4.107 .

4.108 .

4.109 . 4.110 .

4.111 .

В задачах 4.112-4.113 пользуясь только определением предела функции доказать, что и заполнить таблицу:

	0.1	0.01	0.001

4.112 а) ; б) .

4.113 а) ; б) .

В задачах 4.114-4.132 вычислить пределы рациональных выражений:

4.114 . 4.115 .

4.116 . 4.117 .

4.118 . 4.119

4.120 4.121

4.122 . 4.123 .

4.124 4.125

4.126 4.127 .

4.128 . 4.129 .

4.130 . 4.131 .

4.132 .

В задачах 4.133-4.149 вычислить пределы иррациональных выражений:

4.133 . 4.134

4.135 4.136 .

4.137 . 4.138 .

4.139 . 4.140 .

4.141 . 4.142 .

4.143 . 4.144 .

4.145 . 4.146 . 4.147 . 4.148 .

4.149 .

Первым замечательным пределом называется предел: . Следствиями из него являются пределы:

, , .

В задачах 4.150-4.170, используя 1-ый замечательный предел, вычислить пределы:

4.150 4.151 . 4.152 . 4.153 . 4.154 . 4.155 .

4.156 . 4.157 .

4.158 . 4.159 .

4.160 . 4.161

4.162 . 4.163 .

4.164 . 4.165 .

4.166. . 4.167. .

4.168 . 4.169 .

4.170 .

Вторым замечательным пределом называются пределы:

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .

При нахождении пределов следует иметь в виду:

1) Если , , то .

2) Если , , то вычисляют, учитывая, что: , .

4.171 Доказать пределы:

а) ; б) ; в)

В задачах 4.172-4.174 вычислить пределы:

4.172 . 4.173 . 4.174 .

В задачах 4.175-4.204, используя 2-oй замечательный предел, а также результаты задачи 4.171, вычислить пределы:

4.175 . 4.176 .

4.177 . 4.178 .

4.179 . 4.180 .

4.181 . 4.182 .

4.183 . 4.184 .

4.185 . 4.186 .

4.187 . 4.188 .

4.189 . 4.190 .

4.191 . 4.192

4.193 . 4.194 .

4.195 . 4.196 .

4.197 . 4.198 .

4.199 . 4.200 .

4.201 . 4.202 .

4.203 . 4.204 .

Бесконечно малые функции и при называются эквивалентными, и пишут ~ , если .

Принцип замены эквивалентных бесконечно малых функций, состоит в том, что при вычислении предела частного или произведения одну из функций (или обе) в этих выражениях можно заменить эквивалентной функцией. Так, если ~ , ~ при , то: