Точечная оценка вероятности события

Пусть произошло опытов.

СВ – индикатор события А в i – ом опыте:

Тогда событие А произошло раз, и раз – оно не произошло. Частота события А выражается формулой: .

Рассмотрим частоту события как оценку вероятности появления события.

1) Так как опыты не зависимы, то СВ распределена по биномиальному закону с параметрами n и p. Тогда, учитывая формулу , получим:

несмещённая оценка .

2) По теореме Бернулли имеем состоятельная оценка .

Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки , являясь оценкой вероятности события , есть несмещённая состоятельная оценка функции распределения случайной величины Х.

5. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ

Рассмотрим выборочную среднюю как оценку генеральной средней – истинного значения распределения.

1)

несмещённая оценка .

2) По теореме Чебышева имеем

состоятельная оценка .

6. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим выборочную дисперсию как оценку генеральной дисперсии –истинного значения распределения.

Так как статистическая дисперсия не зависит от выбора начала координат, то выберем начало координат в точке , то есть отцентрируем СВ X.

Тогда: .

.

Но .

Тогда имеем смещённая оценка .

Смещение оценки произошло потому, что в формуле отклонение отсчитывается не от истинного математического ожидания, а от его статистического аналога .

Чтобы исправить этот недостаток, вводят:

· Исправленную выборочную дисперсию – ,

где – исправленное выборочное квадратическое отклонение.

Учитывая, что ,

имеем: состоятельная оценка .

Замечание. При больших значениях п разница между и невелика и они практически равны, поэтому оценку чаще используют для оценки дисперсии при малых выборках, обычно при .