Пусть произошло опытов.
СВ – индикатор события А в i – ом опыте:
Тогда событие А произошло раз, и раз – оно не произошло. Частота события А выражается формулой: .
Рассмотрим частоту события как оценку вероятности появления события.
1) Так как опыты не зависимы, то СВ распределена по биномиальному закону с параметрами n и p. Тогда, учитывая формулу , получим:
несмещённая оценка .
2) По теореме Бернулли имеем состоятельная оценка .
Таким образом, эмпирическая функция распределения выборки , являясь оценкой вероятности события , есть несмещённая состоятельная оценка функции распределения случайной величины Х.
5. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
Рассмотрим выборочную среднюю как оценку генеральной средней – истинного значения распределения.
1)
несмещённая оценка .
2) По теореме Чебышева имеем
состоятельная оценка .
6. ТОЧЕЧНАЯ ОЦЕНКА ДИСПЕРСИИ
Рассмотрим выборочную дисперсию как оценку генеральной дисперсии –истинного значения распределения.
|
|
Так как статистическая дисперсия не зависит от выбора начала координат, то выберем начало координат в точке , то есть отцентрируем СВ X.
Тогда: .
.
Но .
Тогда имеем смещённая оценка .
Смещение оценки произошло потому, что в формуле отклонение отсчитывается не от истинного математического ожидания, а от его статистического аналога .
Чтобы исправить этот недостаток, вводят:
· Исправленную выборочную дисперсию – ,
где – исправленное выборочное квадратическое отклонение.
Учитывая, что ,
имеем: состоятельная оценка .
Замечание. При больших значениях п разница между и невелика и они практически равны, поэтому оценку чаще используют для оценки дисперсии при малых выборках, обычно при .