Прямая в пространстве. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Составим уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Уравнение вида:

Называются параметрическими уравнениями прямой.

Каждое из последних уравнений разрешим относительно t:

Откуда

Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Пусть даны две различные точки . В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор

Поскольку прямая проходит через точку

ее канонические уравнения в соответствии с каноническим уравнением запишутся так:

Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через две указанные точки.

Рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями

первая из этих прямых проходит через точку , вторая через точку , прямые имеют соответственно направляющие векторы

Поскольку угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, то

Очевидно, условие перпендикулярности прямых выражается равенством

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых выражается равенствами

Исследуем вопрос о взаимном расположении двух прямых в пространстве. Кроме векторов a и b рассмотрим еще вектор М М₂ = (х₂ - х₁, у₂ - у₁,z - z ).

Очевидно, данные прямые являются скрещивающимися тогда и только тогда, когда векторы a b и М М₂ некомпланарны, в этом случае их смешанное произведение отлично от нуля, т.е. [а, b ] М₁М₂ , или

Данные прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы [а, b ], М₁М₂ компланарны, а в этом случае [а, b ] М₁М₂ =0, или