Нормальное уравнение прямой

29) Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В² не равно 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0 — это уравнение прямой по точке и вектору нормали.

Определение. Каждый ненулевой вектор (a₁, a₂), компоненты которого удовлетворяют условию Аa₁ + Вa₂ = 0 называется направляющим вектором прямой Ах + Ву + С = 0.

30) Нормальное уравнение прямой имеет вид ,где – расстояние от прямой до начала координат; a – угол между нормалью к прямой и осью .

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

31)

32)

33)

34) Э́ллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

| F ₁ M | + | F ₂ M | = 2 a, причем | F ₁ F ₂ | < 2 a.

Уравнение эллипса:

35) Гипе́рбола — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек F ₁ и F ₂ (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем | F ₁ F ₂ | > 2 a > 0.

36) Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусомпараболы). Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом. Уравнение параболы: .

37) Прямоугольная, или Декартова система координат — наиболее простая и поэтому часто используемая система координат на плоскости и в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X ' X и Y ' Y. Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ.

39) Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

41) Нормальное уравнение прямой

где p - длина перпендикуляра (нормали), опущенного из начала координат на прямую, а - угол наклона этого перпендикуляра к оси Ox. Чтобы привести общее уравнение прямой Ax + By + C = 0 к нормальному виду, нужно все члены его умножить на нормирующий множитель , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена C.

. Расстояние точки A (x ₁, y ₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

42) Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. Доказывается, что этот угол не зависит от выбора такой плоскости. Угол между двумя параллельными плоскостями принимается равным нулю.

43) Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M ₀, лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, — радиус-вектор произвольной точки прямой.

44) Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l ₁ параллельна l ₂ тогда и только тогда, когда параллелен . Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .

45)